3.5 信号统计检测的性能
利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算 极小化极大准则
c11 c00 c01 c11 PM P1*g c10 c00 PF P1*g 0 c11 c00 c01 c11 1 PD P1*g c10 c00 PF P1*g 0 c01 c11 PD P1*g c10 c00 PF P1*g c01 c00 0
ij
c jj PH j p x H j


I i x
M 1
j 0, j i
PH px H
j j
为保证平均错误概率最小，应把所有使 I i x 最小的划分至
判决区域 Ri，即当满足
I i x I j x , j 0, 1, , M 1, j i
I 0 x I1 x I x I x 0 2 I 0 x I M 1 x
3.6 M元信号检测
2. 最小平均错误概率准则
正确判决代价为0，错误判决代价为1，则
I i x
M 1
j 0, j i
c
cii PH i
i 0 M 1 M 1
M 1
M 1 M 1
i 0 j 0, j i
c PH PH
ii i i j
j
Hi
M 1 M 1
M 1 M 1
i 0 j 0, j i
c PH PH
ij j i j
i
Hj

c PH PH
步骤3：
计算判决概率
PH 0 H1 PH1 H 0
3.6 M元信号的统计检测 (Detection of M-ary Signal)
基本要求：
① 掌握贝叶斯准则 ② 掌握最小平均错误概率准则
3.6 M元信号检测
1. Bayes 检测准则
R
M 1 i 0
R0
i
R
R1 RM 1
p xi H 0 p xi H1
xi 12 exp 2 2 2 2 1 xi 2 exp 2 2 2 2 1
2
px H 0
证明过程如下：
3.5 信号统计检测的性能
利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算 贝叶斯准则和最小错误概率准则下 根据先验概率和代价因子，求得判决门限 以 为斜率，可找到一条直线，与在给定信噪比d下的PD-PF曲线相切； 切点对应的PD和PF值，
就是在给定信噪比下的两 种判决概率。
i 0 j 0, j i ii M 1 M 1 i 0 j 0, j i jj i j
Hi
i 0 j 0, j i
c PH , H
ii jj j i

c PH , H c PH PH
M 1 M 1 i 0 j 0, j i
P( H 0 ) P( H 0 ) 先验概率决定 P ( H1 ) 1 P ( H 0 )
(PF (P( H 0 | H1 ) )
由虚警概率决定
3.5 信号统计检测的性能 (Performance of Statistical Detection)
根据 PD PH1 H1
接收机工作特性的共同特点(似然比函数是x的连续函数)
•上凸曲线 曲线位于PD=PF之上
•随着门限 的增加，两种判决概率PD和PF之都会减小
•PD和PF之同时增加，或同时减小
•工作特性某点上的斜率等于该点PD和PF所要求的检测门限值
•利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算
PD PH1 H1
最小平均 错误概率 判决准则
最大似然 判决准则
1 p x H 1 H P H 0 p x H 0 H 0 P H 1
c10 c00 c01 c11
P H 0 x P H1 x
H0
H1
最大后验 概率检测 准则
等概
p x H 0 p x H 1
时，判决Hi成立
3.6 M元信号检测
3. 最大似然检测
正确判决代价为0，错误判决代价为1，且信源的假设先验等概时，
I i x
1 I i x M
M 1
j 0, j i
c
ij
c jj PH j p x H j


1 p x H j M j 0, j i
解：
H 0 : xi 1 ni ,
H1 : xi 2 ni ,
H 2 : xi 3 ni , H 4 : xi 4 ni ,
根据题设条件，在信源先验等概且正确判决代价为零，错误
判决代价为1的条件下，贝叶斯检测等价于最大似然检测，即
使似然函数 p x H i 最大的观察值划分给判决区域Ri
PF PH1 H 0
3.5 信号统计检测的性能
•工作特性某点上的斜率等于该点PD和PF所要求的检测门限值
1 px H1 H x px H 0 H 0
def
PD PH1 H1 p H1 d p H 0 d



3.6 M元信号检测
M 1 M 1 M 1 cij P H j P H i H j C cii PH i 1 P H H j i i 0 j 0 , j i i 0 j 0, j i M 1


PF PH1 H 0
分析似然比检测的接收机工作特性
PF＝P( H1 | H 0 ) PD＝P( H1 | H1 )
arctg
0
信噪比

图3.12接收机工作特性（ROC）
图3.13检测概率PD与信噪比d的关系
3.5 信号统计检测的性能 (Performance of Statistical Detection)
M 1
Ri
j 0, j i
c
ij
c jj P H j p x H j d x


Ii x
M 1
j 0, j i
c
ij
c jj P H j p x H j
p xHj 0


cij c jj , P H j 0,
算最终判决门限。
贝叶斯及派生检测准则(3)
分析某种检测方法的性能时，需根据化简后的最简判决表示式进行。 计算步骤： 步骤1： 步骤2：
H1
推导某种检测方法下获得的最简判决表达式 l x
H0
根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数
pl H1 p l H 0
3.6 M元信号检测
步骤1，计算各假设下的似然函数
由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，xi 服从高斯分布，
xi 服从均值为2，方差为 且均值为1，方差为 2 ;在H1假设下，
在H3假设下, xi 服从均值为4，方差为 2的高斯分布。
2
的高斯分布;在H2假设下, xi 服从均值为3，方差为 2的高斯分布;
按照上述公式，画出一条PD-PF直线， 该直线与给定信噪比下的PD-PF工作 特性曲线相交,交点即是在极小化极大 准则条件下的两种判决概率。
3.5 信号统计检测的性能
利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算 奈曼皮尔逊准则 由
PF 画一条直线
该直线与给定信噪 比下的PD-PF工作 特性曲线相交, 交点即是在奈曼皮 尔逊准则下的两种 判决概率。
贝叶斯及派生检测准则(1)
贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下， 使平均代价最小的检测准则。
1 p x H 1 H P H 0 c10 c00 p x H 0 H 0 P H 1 c01 c11
c 00 c11 0
c 01c10 1
Ri R j
平均代价为
C cij PH j P H i H j
i 0 j 0
M 1 M 1


寻找一种判决空间的划分方法,使平均代价最小.
3.6 M元信号检测
C c PH PH
M 1 M 1 i 0 j 0 ij j
i
Hj

i
cii PH i PH i H i
Hj

3.6 M元信号检测
C cii P H i
i 0 M 1 M 1 M 1
i 0 j 0, j i
c
ij
c jj P H j P H i H j


cii P H i
i 0 i 0
M 1
M 1
大家晚上好
几种准则的说明
准则 贝叶斯准则 最小平均错误 概率准则 最大后验概率 准则 N-P准则 门限 P( H 0 )(c10 c00 ) P( H1 )(c01 c11 )
P( H 0 ) P( H 0 ) P ( H1 ) 1 P ( H 0 )
说明 由代价因子和先验 概率决定 先验概率决定


I i x 0
3.6 M元信号检测
为保证平均风险最小，应把所有使 I i x 最小的划分至
判决区域 Ri，即当满足
I i x I j x , j 0, 1, , M 1, j i
时，判决Hi成立
3.6 M元信号检测
H0成立的判决区域，是满足下面联立方程组的解
H0 H1