e nsT z n 1 1 1 z s2 1(t ) s z 1 二重极点s=0的留数为 1 Tz t 21 2 1 d z 2 (z 1 ) R lim [( s 0) s 2 ] (2 1)! S 0 ds s z e ST 1 z at e sT zTe Tz aT lim s a z e S 0 ( z e sT ) 2 ( z 1) 2 aT 1 Tze at f (t ) te t的z变换为 2 aT 2 ( s a) (z e )
• 数字控制的优点： 1.占用空间小； 2.成本低；
3.灵敏、抗干扰性强；
4.方便控制算法的重构与复用。 在离散控制系统的分析中为方便起见引入以下假设： (1)定时采样和A/D转换相当于一个每隔T秒瞬时接 通一次的理想采样开关，采样时间为0，周期为T。
(2)D/A相当于保持器，将数字信号变为连续信号。 本课程中假设保持器均为0阶保持器.
z e j T
在Z平面上，上式表示单位圆
jω
j
S平面

T
s j
Im
Z平面
z e e
T j

T
σ
j
-1


T
0
0
1

T
Re
可见S平面上的虚 轴，映射到Z平面， 是以原点为圆心的 单位圆，且左半S 平面对应单位圆内 的区域。
二、线性采样系统稳定的充要条件
设采样系统的闭环脉冲传递函数为 系统特征方程为
2 滞后定理（负偏移定理）：
Z [ f (t kT )] z k F ( z )
说明： 原函数在时域中延迟k个采样单位，相当于其z变换乘以 z k 。
3.超前定理（正偏移定理）
Z [ f (t kT )] z k F ( z )
说明： z k 代表超前环节，表示采样信号超前了k个采样单位，但是 在物理系统中并不存在，仅用于运算。
g
* 2
(t ) 的乘积的Z变
换。结论可推广到n个环节直接串联的情况。
例：
r (t )
T
由
1 S
T
a S a
C (t )
1 z G1 ( s ) ，得 G1 ( z ) s z 1 a az G 2 ( s) ，得 G 2 ( z ) sa z e aT az 2 G ( z ) G1 ( z )G 2 ( z ) ( z 1)( z e aT )
2、当 s p i 为q重极点，留数为
1 d q 1 z q Ri lim [( s p i ) F ( s ) ] q 1 sT (q 1)! s pi ds z e
变换 (t nT ) 例：求 f (t ) t 的Z 1 ( t ) 解： F ( s)
0。
采样过程可用图表示
T (t )
e(t )
采样器
e (t )
*
采样信号e (t ) 是e(t ) 和 T (t ) T (t ) 的乘积，其中载波信号 决定采样时刻，它是周期为T 的单位脉冲序列，采样信号 在nT(n=0,1,2…)时刻的值由
*
e(t ) 决定。
二、采样过程的数学表达式
根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。
g (t )
1 0 1 0
T
零阶保持器的单位脉冲响应是一个 矩形，宽度为T，高为1，它可表示 成以下二个单位阶跃信号的迭加。
g (t ) 1(t ) 1(t T )
单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶 保持器的传递函数。
-1
1 1 TS 1 e Ts Gh (s) L[ g (t )] e s s s
Tz F ( s) R ( z 1) 2
常见函数的Z变换P341
8.5 脉冲传递函数
一、基本概念
G(Z )
*
r (t )
r
T
(t )
G(S )
C (t )
C (t )
T
*
定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输 出采样信号的Z变换与输入采样信号Z变换之比，称 为系统的脉冲传递函数。
C ( z) G( z) R ( z ) 1 GH ( z )
1 GH ( z ) 0
其特征根1，2， n是闭环极点。
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全 部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足
i 1，i 1， 2， ，n
三、用劳斯判据判定采样系统的稳定性
8.2 采样过程和采样定理
一、采样过程
按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉 冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程 的装置。 采样开关按周期T闭合，T称为采样周期。每次闭合时间 为 ，由于在实际中总有 T ，且 远小于G ( S ) 中的
时间常数，可近似认为
模拟信号——在时间上连续，且在幅值上连续（导数 连续）的信号。
采样信号——又称离散信号，按一定的时间间隔对模 拟信号进行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。 采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中， 各处的信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数 处的信号是采样信号。 采样系统的个性——采样过程和采样信号保持 采样系统和连续系统的共性——（1）闭环控制； （2）需分析稳定性、暂态性能和稳态性能； （3）需进行校正。
r (t )
T
1 S
a S a
C (t )
a G1 ( s )G 2 ( s ) s( s a) L1 [G1 ( s )G 2 ( s )] 1 e aT G ( z ) G1G 2 ( z ) Z [1 e aT ] z (1 e aT ) ( z 1)( z e aT )
* * n 0

三、采样定理
经采样得到的离散信号 x 有可能无失真地恢复到原来的连 （t） 续信号的条件是
*
s 2 max
其中
2 s : 采样角频率， s ＝ T
采样定理给出了选择 采样周期T的依据。
max : 连续信号 x(t )频谱的上限频率。
8.3 采样信号保持器
一、零阶保持器
（t） (t nT ) 单位脉冲序列 T
n 0
采样信号为
e（t） e(t ) T (t ) e(t ) (t nT ) ＝ e(nT ) (t nT )
* n 0 n 0


采样信号的拉氏变换
E ( s) L[e (t )] e(nT )e nTS
2、两个串联环节之间无采样开关隔开
G(Z )
r (t )
r * (t )
T
G1 ( S )
x(t )
G2 ( S )
C (t )
C * (t )
T
C ( z) G1 G 2 ( z ) R( z )
无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个环
节经采样后的单位脉冲响应
g
* 1
(t ) 和
X * (t )
X * (t )
X n (t )
零阶 保持器
X n (t )
0
T
2T
3T
4T
t
0
T
2T
3T 4T
t
零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将前一采样时 刻的值，保持到下一个采样时刻，即
X n (t ) X (nT )，nT t (n 1)T，n 0,1,2,
二、零阶保持器的传递函数
G( z) C ( z) R( z)
采样脉冲函数的物理意义 采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应 g (t )经采样后 * 的采样信号 g (t ) 的Z变换。
g (t )
*
n 0
g (nT ) (t nT )
* n0 n g ( nT ) z

G ( z ) Z [ g (t )]
F ( z) 4.初值定理： f (0) lim z
5.终值定理：常用于计算系统的稳态误差
设函数f ( t )的z变换为F(z), 而且(1 z )F(z)在以原点 为圆心的单位圆上和单位圆外均无极点，则： lim f ( t ) lim f (nT ) lim (1 z 1 )F(z) lim (z 1)F(z)
t n z 1 z 1 1
6卷积和定理/卷积定理：
则卷积和定理可以表示为：
c(kT ) g[( k n)T ]r (nT )
n 0
k
式中n 0,1,2......正整数[当n为负数时，c(nT ) g(nT ) r (nT ) 0], C（z） G（z）R（z） 式中C（z） Z[C(nT )] G (z) Z[g(nT )] R (z) Z[r (nT )]
首先要通过双线性变换
w 1 z w 1
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用 劳斯判据。 例：求使系统稳定的K值范围。
R( S ) ＋
－ T 0.25s
K S ( S 4)
C (s)
解：1、求系统的开环脉冲传递函数
K K 1 1 G( s) s ( s 4) 4 s s4
T
T
G(S )
C (s)
H (S )
C ( z) D ( z )G ( z ) R ( z ) 1 D ( z )GH ( z )
典型采样系统及其C（Z）见P353
8.6 采样系统的稳定性分析
一、S域到Z域的映射
根据Z变换定义，有