数据
a(cm)
n(g)
b(cm)
m(g)
第1次
8
100
4
50
第2次
8
100
12
150
第3次
8
100
16
200
A a O bB
m n
案例2 反比例函数
a和m不变, b和n之间的反比例关系
数据
a(cm)
m(g)
b(cm)
n(g)
第1次
8
100
16
50
第2次
8
100
8
100
第3次
8
100
4
200
总结：当n增加时，b却减少， b随 n的增加而减小。且满足bn = am = 非零常数，b与n成反比例。
问题1：苍蝇向右又爬一个5c真m理，揭如开何了面容
在地狱般的圈栏
表示它的位置？
暴发出一阵阵哀鸣
问题2：苍蝇向左爬5cm，如何
毕达哥拉斯要把祭礼行 百牛烤熟又切片 难表心中感激之情
表示它的位置？ 难阻真理发现者的暴行
毕氏让它们永不得安宁 它们瑟瑟颤抖着
绝望地闭上了眼睛
案例 3 直角坐标系
问题3：苍蝇向上爬5cm， 如何表示它的位置？ 问题4：苍蝇向右爬3cm， 再向上5cm，如何表示它的 位置？
背景
概念与思想 公式与定理 问题与求解
结语
案例1 案用例字1 用母字表母示表数示数
教学设计
引入 • 古埃及一元一次方程问题 探究 • 古希腊丢番图问题的求解
形成 • 用字母表示任意数或一类数
巩固 • 字母表示数的应用
小结 • 字母表示数的意义
案例1 用字母表示数
问题1：一个量，加上它的2/3， 它的1/2和它的1/7，等于33。求 该量。
背景
教师专业发展
学科内容知识
教学内容知识
一信般 知念识 内容
（CCK）
水平内容 知识
（HCK）
内容与学生
知识（知 KC识S）
专门内容 知识
（SCK）
内容与教学内容与课程 知识
（KCC）
教学取向的数学知识（MKT）的构成
背景
HPM课例的设计、实施和评价
数学史融入中学数学教学的实践与案例
案例 3 直角坐标系
问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？
S：用+3表示。 T：那如果苍蝇向上爬了6cm， 7cm，又如何表示它的位置 呢？ S：还是+3。 T：可是，苍蝇的位置明明 不同啊？
案例 3 直角坐标系
问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？ S：用8来表示。 T：那么如果苍蝇先向右爬4cm， 再向上爬4cm，那你怎么表示？ S：还是8。 T：不同的位置，但是你却用同 一个数来表示，同学们觉得这样 可行吗？ S：不可行。
内容与课程知识（KCC） 字母表示数的历史 内容与学生知识（KCS） 从字母表示未知数到字母表 示任意数的困难 内容与教学知识（KCT） 借鉴代数学的历史来设计教 学
案例2 案反例2比反例比函例数函数
引入 《太上感应篇》“入重 出轻”的故事。
案例2 反比例函数
新课探究
a和n不变, b和m之间的正比例关系
数学史料
• 人物事件 • 概念术语 • 数学问题 • 公式定理 • 学科思想 • 工具符号
选材原则
• 趣味性 • 可学性 • 科学性 • 有效性 • 新颖性
运用方式
• 附加式 • 复制式 • 顺应式 • 重构式
效果评价
• 知识之谐 • 方法之美 • 探究之乐 • 能力之助 • 文化之魅 • 德育之效
A a O bB
m n
案例2 反比例函数
概念形成
定义：设b = y，n = x，则y = k/x。形如y =k/x（k为常数，且k
0）的函数成为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k 是比例系数。
辨析：
（1）对“形如”怎样理解？ （2）怎样理解“k为常数，且k 0”？ （3）反比例函数与前面所学的什么知识有联系？ （4）为什么成为反比例函数？
x 2 x 1 x 1 x 33 327
案例1 用字母表示数
问题2：已知两数的和与差，你能 求出这两个数吗？
修辞代数： 用文字来表达 一个方程
案例1 用字母表示数
缩略代数： 用字母表示未 知数
符号代数 用字母表示任 意数
古巴比伦人 公元前1700年
丢番图 公元3世纪
韦达 16世纪
案例 3 直角坐标系
问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？ S：用“5垂直于3”表示。 T：那如果苍蝇向左爬了3cm，再向上爬了5cm呢？ S：“5垂直于-3”。 T：这位同学很棒，用两个数来表示点的位置，那么 能不能再简练一点呢？ S：53。 S：5.3。 S：5/3。
案例 3 直角坐标系
T：还有其他表示方法吗？ [有两组学生开始用量角器与直尺] S7：北偏东50。 T：…… T：我们将5垂直于3表示为（3, 5）。
案例1 用字母表示数
问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个 正方形呢？
4
4+13
4+23
4+33
生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数-1)3
案例1 用字母表示数
学生
教师
知识之谐 经历从字母表示未知数到字母 表示任意数的自然过程 探究之乐 积累数学活动经验 文化之魅 字母表示数的历史 德育之效 数学思想发展的曲折与艰辛
数学史融入中学数学教学的实践与案例
汪晓勤 华东师范大学教师教育学院
杭州 2017-04-27
数学史融入中学数学教学的实践与案例
背景
概念与思想 公式与定理 问题与求解
结语
背景
• 如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何 实施数学学科德育，日益受到人们的关注。
• 国际上，数学核心素养的内涵涉及知识、能力、思维、 情感，而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学 情感。
案例3案例直角3 直坐角标坐系标系
教学设计
引入 • 笛卡儿的故事 探究 • 如何表示天花板上的苍蝇的位置？
形成 • 直角坐标的概念
巩固 • 在直角坐标系中求点的坐标
小结 • 直角坐标系的意义
案例 3 直角坐标系
复习旧知：数轴的三要素；
缪斯女神把这光芒馈赠
笛卡儿的故事；从那天起，当它们臆测
• 数学史与数学教育之间的关系（HPM）是今日数学教育 领域的热门课题。
• 数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来 越多的中学一线教师对HPM产生浓厚兴趣。
• 如何设计、实施、评价HPM课例？HPM视角下的数学教 学实践是否可以促进教师的专业发展？
背景
为什么要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？