案例1 有理数的乘法
引入 司汤达的故事。如何解决“债务乘以债务等于收入” 这一悖论？ M.克莱因的债务模型：某人每天欠债5美元。
三天以前欠债 (-3)(-5)
今日财务 0
三天后的财务 3(-5)
案例1 有理数的乘法
探究
类比M.克莱因的债务模型，提出其他解释。
归纳 债务模型；运动模型；运算模型；故事模型 拓展 微视频（历史上的其他模型）
x2 2 x 在1和2 之间
1.42 1.96, 1.412 1.9881, 1.414 2 1.999396, 1.4142 2 1.99996164,
结论：找不到一个有限小数或无限循环小数表示x。
案例2 实数的概念
概念形成

2 的引入，几何意义
根号的历史 问题4：面积为3和5的正方形边长分别为多少？ 无理数的定义 视频：无理数的历史（无理数的发现；无理数理论 的发展；无理数的辞源）
数学史与初中数学教学
2018-04-26
背 景
• 如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何实施数 学学科德育，日益受到人们的关注。 • 基于数学核心素养的培养要求，教师需要实现数学课堂的转型。 • 2017年普通高考考试大纲修订：充分发挥高考命题的育人功能 和积极导向作用，在数学中增加数学文化的内容。 • 数学史融入数学教材已经成了人们关注的重要课题。 • 数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来越多的 中学一线教师对HPM产生浓厚兴趣。
案例2 实数的概念
问题2：已知正方形边长为1，如何求它的对角线呢？ 思考：我们知道，已知正方形的面积，可以求相应的 边长。那么，能否构造以正方形对角线为边长的正方 形呢？
案例2 实数的概念
拼图方案之一
拼图方案之二
案例2 实数的概念
拼图方案之三
案例2 实数的概念
问题3：所得到的正方形的面积为2，其边长为多少呢？
探究之乐
能力之助
文化之魅
德育之效
数学融入数学教学
背 景
选题与准备
研讨与设计
实施与评价
整理与写作
确定课题
教学设计
实施教学
教学实录
查阅历史
交流研讨
学生反馈
资料分析
搜集素材
改进设计
同行评议
撰写课例
HPM教学设计、实施、评价与案例写作
背 景
数学史融入初中数学教学：材料、原则、方式与价值
数学史料 • 人物事件 • 概念术语 • 数学问题 • 公式定理
背 景
实施与评价
课堂实施；
课堂观察；
学生反馈（问卷 调查与访谈）； 评议交流
情感； 认知。
背 景
整理与写作
引言（背景，教学
课堂实录； 数据整理； 课例写作； 论文发表； 教学反思
目标等）；
数学史料及其运用； 教学设计与实施
（教学环节+片段）
1972
1976
1984
2020
背 景
为何与 如何之 探讨 数学史 融入教 材研究 教育取 向之历 史研究
HPM
HPM与 教师专 业发展 历史相 似性实 证研究
HPM领域的研究课题
教学实 践与案 例开发
背 景
数学史的教育价值与数学课程目标
数学课程目标
四 基
四 能
核心素养
情感与信念
知识之谐
方法之美
变化”？
• FUNCTION 为什么译为“函数”？
• 无理数和有理数的定义是如何产生的？
背 景
HPM：Relationship between History and Pedagogy of Mathematics
ICME-2 ： 历史与教学 之关系国际 研 究 小 组 （HPM） ICME-3 ： HPM 正 式 隶属于国际 市教育委员 会 （ ICMI ） ICME-5 ： HPM卫星会 议在澳大利 亚举行 ICME-14 ： HPM 卫 星 会议将在中 国举行
头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。推广这种
自然的真正科学的教学的主要障碍是缺乏历史知识。
背 景
中学教师心目中的疑难问题
• 为什么规定 a a
n m n m
，而不是 a m a n
m n
？
• 负负得正不能用数学语言来证明吗？只能通过数学模型来帮
助理解吗？
• 为什么把平面直角坐标系的四个部分叫象限？ • 正比例函数和反比例函数是什么意思？是“正向变化和反向
案例1 有理数的乘法
小结 如果司汤达来打我们今天的课堂，他对负负得正的
解释满意吗？
质疑与探究； 说理与求真； 倾听与尊重； 困难与困惑；
德育之效
思考与学问
案例2 实数的概念
复习旧知 新课探究 问题1：我们熟悉的A4纸，长和宽的比是什么？
案例2 实数的概念
问题1：我们熟悉的A4纸，长和宽的比是什么？
背 景
设计与研讨 教师初步完成教
教学目标、重难点；
已发表或常用的教学设计；
数学史介绍； 教学设计中史料的适切性
学设计。
共同体成员对进 行设计进行研讨。 教师对教学设计 进行改进。
（趣味性、可学性、科学性、
人文性、有效性）； 数学史的运用方式（附加式、
复制式、顺应式、重构式）
选材原则
• 趣味性 • 可学性
运用方式
• 附加式 • 复制式
效果评价
• 知识之谐 • 方法之美
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ• 科学性
• 有效性 • 人文性
• 顺应式
• 重构式
• 探究之乐
• 能力之助 • 文化之魅 • 德育之效
• 学科思想
• 工具符号
背 景
选题与准备
教师按照教学进度确 定课题。
对相关主题的历史进
行研究。 选取合适的历史素材， 供教师学习。
学生反馈（数据整 理）
结语（目标达成；
反思；启示）
背 景
学科内容知识
教师专业发展
教学内容知识
一般内容 信念 知识 （CCK） 水平内容 知识 （HCK）
内容与学生 知识 知识 （KCS） 专门内容 知识 （SCK） 内容与教学 知识 （KCT）
能力
内容与课程 知识 （KCC）
教学取向的数学知识（MKT）的构成
背 景
效果
学有所得
成绩、认知、情感
有效教学
效益
学有所用
育智、育德、育美
效率
学有得法
减负增效
背 景
一门科学的历史就是这门 科学本身。
——歌德《颜色理论》序
歌 德 J. W. von Goethe (1749-1832)
背 景
F· 克萊因（F. Klein, 1849-1925） 科学的教学方法只是诱导去作科学的思考，并不是一开