数学分析III 复习题一、填空题1.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,,0,0,),(222222y x y x y x xyy x f 则当00→→y x 及时),(y x f 的重极限为 ,两个累次极限分别为 和 .2.()()=-+++→11lim22220,0,y x y x y x .3.()()()=++→220,0,1sinlimy x y x y x .4. 设()y x e z x+=sin 则=dz .5.设()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,1sin ,222222y x y x yx xy y x f 则()=0,0df 6. 设32),,(yz xy z y x f +=,)1,1,2(0-P 则=)(0P gradf . 7.设2),,(y xz z y x f +=,则 f 在点)1,1,1(0p 沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数为 .8.曲面x yz arctan=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程 法线方程 9.方程02=+--zxy e z e 确定的隐函数的偏导数x z ∂∂= ,=∂∂y z10. 函数()yx y x f =,在点()4,1处3阶泰勒公式中()21-x 项的系数为 .11.设,tan ,sin 3,23x v x u v u z ==+=则=dz12.设()0,=--bz y az x ϕ,则=∂∂+∂∂y zb xz a13.()x F =⎰+2)()3(x dyy f y x 则()='x F14.()⎰+→3020lim dxe x x ααα= 15.()⎰+→120cos lim xdxx ααα= .16.()⎰⎰2ln 0,e xdyy x f dx 交换积分次序得17.π=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ27 =⎪⎭⎫⎝⎛+Γn 2318.若()y x u ,是()()dy y x Q dx y x p ,,+的原函数,则应有 . 19. 若曲线积分⎰+LQdypdx 与路线无关,则必有 .20. ()dy y y y x ydx y cos sin sin ++的原函数是 .=⎰⎰--1112),(,.21x x dy y x f dx 交换积分次序.)sin ,cos (:.2220cos 0=⎰⎰πθθθθrdr r r f d 的累次积分分转换成直角坐标系中将极坐标系中的累次积⎰==+Lds x y x L ||,1.2322则表示圆周设⎰=++Lds z y x O A L 2)(,)0,0,0()2,1,2(.24则的直线段到原点为点设⎰=+++++=-+-Ldy y x x y x dx y x y x L )]ln(5[,,1)1()1(.25222222则取逆时针方向表示圆周设.______,)0(,0.26222222=++=+>==∑⎰⎰∑zy x dSR y x H H z z 则上的那一部分之间圆柱面是介于两平面已知二、选择填空()可微但不可求偏导可微连续且偏导数存在但不偏导数存在但不连续连续但偏导数不存在在原点函数....)0,0(0,00,),(.1222222D C B A y x y x y x xy y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++= ()的极值点可能不是的极大值点必是的极小值点必是的极值点必不是是则且满足阶偏导数的某个邻域内有连续二在若函数),(.),(.),(.),(.),(,0),(),()],([,)(),(.200000020000y x f D y x f C y x f B y x f A y x 、y x f y x f y x f y x y x f yy xx xy <-()只有四条只有三条只有二条只有一条的切线平行与平面的所有切线中在曲线....42,,,.332D C B A z y x t z t y t x =++===()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+≤+≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1022022110202122222)()(2.)(2.)()(2.)(2.)(,},21|),{(.4dr r rf dr r rf D drr rf C dr r rf dr r rf B drr rf A dxdy y x f D f y x y x D Dππππ则上的连续函数是区域设区域()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=--+=2040cos 222040cos 202012201112222sin 4.4.4.4.11.52ππθππθππϕϕθϕθθθrrr r drr d d D rdrd d C dzrdr d B dzrdr d A y x z y x z 所围成的立体体积为与锥面由球面().,0.)sin cos (4.2.sin cos 2.)sin cos (,,)1,1(),1,1(),1,1(.61111被积函数的奇偶性注意积分区域的对称性则积分的部分在第一象限是为顶点的三角形区域是平面上以点设D dxdyy x xy C xydxdyB ydxdyx A dxdy y x xy I D D D D D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=---()1.81.2..),(,1,0,),(),(,),(.72++====+=⎰⎰xy D xy C xyB xyA y x f x x y y D dxdy y x f xy y x f y x f D则所围成的区域和是由其中且连续设()333322231.51.61.41.)()()(,),0,()0,0,()0,0(2sin cos .8h D h C h B h A dz xy z dy xz y dx yz xh R B R A h R t h z t R y t R x L L=-+-+->>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰曲线积分则的一段弧到上从是螺线设π().cos .9.6.)cos cos cos (),cos ,cos ,(cos ),30(.922222D dSz C a B a A AdS z y x z a y x ⎰⎰⎰⎰∑∑=++=≤≤=+∑γππγβαγβα则其向外的单位法向量为为柱面设()0.0.0.0.,.10222222=====++∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑dydz y D xdydz C ydydz B dydz x A a z y x 是则下列式子中错误的的上半部分的上侧为球面设三、.,632.3.,),(,)(),,()2(.2.,.1222222dxdz dx dy z y x y x z yx zv u g t f xy x g y x f z dz yx yx arctgz 求设求具有连续二阶偏导数二阶可导其中设求设⎩⎨⎧=+++=+-=-+=∂∂∂.,:,0),(,.42的函数只是在极坐标系中证明满足可微函数上设在θf f y f x y x f R y x ='+'.,,),()(1.522y x z C f y x y xy f x z ∂∂∂∈++=求其中设ϕϕ.,)(),(,)(.620yx wdt t x f ey x w u f yy∂∂∂+=⎰-求一阶可导设函数..sin ,2:)(),(,),,(.70dxdu dt t t e xy e x z z x y y z y x f u z x xxy 求分别由下列两式确定又函数有连续一阶偏导数设⎰-==-=== .,0062.8222222a v u zy z y x z x z azx v y x u 求常数化简为把方程设=∂∂∂=∂∂-∂∂∂+∂∂⎩⎨⎧+=-=.)(,]1,0[.91022为极小意义下最佳近似的积分才能使它在平方误差来代替曲线上用怎样的直线在⎰-==+=dxy J x y b ax ζζ.ln ,0,1.10成立不等式时证明当y e x x x xy y x +-≤≥≥11.从等式⎰----=babx ax xyx e e dy e 出发计算积分dx x e e bxax⎰∞+---0,()0>>a b12.应用积分号下的积分法计算下列积分:()()0ln ln cos 10>>-⎰a b dx x x x x ab13.利用p a p b dx x ax bx e px arctan arctan sin sin 0-=-⎰∞+-()0,>>p a b 计算dx x ax ⎰∞+0sin14.应用积分号下微分或积分的方法计算下列积分:⎰∏<20)1()(a dx tgx atgx arctg.)0,0(,,,,)sin(.1522222围成的区域是由其中计算二重积分q p b a qx y px y by x ay x D dxdy y xy x D <<<<====⎰⎰ }.,|),{(.)()()(,],[)(.162b y a b x a y x D a b dxdy y f x f b a x f D ≤≤≤≤=-≥⎰⎰其中证明上的正值连续函数是设 )0()()(1)()(,)(.171>-=-⎰⎰⎰-a dtt f t x n dt t f t s ds t f xan x asan 证明是连续函数设.)(lim ,,,0:,)]([)(,)(.1820222222tt F dt dF t y x h z d y x f zt F t f t →Ω≤+≤≤Ω++=⎰⎰⎰求其中连续设函数.1)0,1(,),(),(2),,(.1921=+=-==⎰⎰u xydydx y x u I dyy x u xydx I y x u u LL并适合都与路径无关及使曲线积分求一个二元可微函数.)cos ,cos ,(cos ,2,)cos cos cos (.20222量的外法线的单位方向向是是球面其中计算∑==++∑++⎰⎰∑γβαγβαn z z y x dS z y x.cos cos cos 21,,)cos ,cos ,(cos ,cos cos cos .21⎰Γ=∑ΓΓ==++Γzyxdz dy dx S S n p z y x γβαγβαγβα明证上所围成的面积乐为在成逆时针方向看位向量对着平面的单上的一条简单闭曲线是平面设22.求二重积分dx xxdy y ⎰⎰660cos ππ.23.求二次积分242sin xI dy dx x ππ=⎰.24.计算⎰⎰⎰Ω=zdV I ,其中Ω为球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围立体.25.计算dxdy y x e dzdx dydz x I z ⎰⎰∑+++=222.其中∑为:22y x z +=在21≤≤z 之间部分的外侧表面.26.求曲线积分3222(2cos )(12sin 3)Lxy y x dx y x x y dy-+-+⎰,其L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到(,1)2π的一段弧;27.求曲线积分(12)(cos )y y Lxy e dx y xe dy +--⎰,其L 是沿曲线2y x =从点(1,1)A -到(0,0)O ,再沿x 轴到点(2,0)B 的有向弧段;。