数学分析（2）期末试题
课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业
一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）
1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．
A ．1(1)n
n ∞
=-∑ B ． 1n n ∞
= C ． 21(1)n
n n
∞=-∑ D ． 11(1)n
n n ∞
=+∑
2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数
在
它的间断点x 处 （ ）．
A ．收敛于()f x
B ．收敛于1
((0)(0))2f x f x -++
C ． 发散
D ．可能收敛也可能发散
3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．
A ．有界
B ．连续
C ．单调
D ．存在原函
数
4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）
A ．
1x B ．ln x x C ． 21
x
- D ． x e 5、已知反常积分2
(0)1dx
k kx +∞
>+⎰
收敛于1，则k =（ ） A ． 2π
B ．22π
C ． 2
D ． 24π
6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+L L 收敛，则（ ）
A ． x e <
B ．x e >
C ． x 为任意实数
D ． 1e x e -<<
二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）
1、已知幂级数1n n n a x ∞
=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ．
2、若数项级数1
n n u ∞
=∑的第n 个部分和21
n n
S n =
+，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1
y x
=
与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1
()()b
x
x
a
e f e dx f x dx =⎰⎰，则a = ，b = ．
5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n
n n n ⎧⎫
-=⎨⎬+⎩⎭
L 的聚点为 ． 6、函数2
()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ．
65
三、计算题（每小题6分，6×5＝30分） 1、 (1)
dx
x x +⎰
． 2、2ln x x dx ⎰．
3、 0
(0)dx a >⎰
． 4、 2 0
cos lim
sin x
x t dt x
→⎰
．
5、dx ⎰．
四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）
1、讨论函数项级数2
1
sin n nx
n ∞
=∑
在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性． 2、求幂级数1n
n x n ∞
=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．
3、设()f x x =, 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶（Fourier ）级数．
五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）
1、已知级数1
n n a ∞
=∑与1
n n c ∞
=∑都收敛，且
, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=L ，
证明：级数1
n n b ∞
=∑也收敛．
2、证明：
2
2 0
sin cos n
n x dx x dx π
π
=⎰⎰．
66
试题参考答案与评分标准
课程名称数学分析(Ⅱ) 适用时间
试卷类别 1 适用专业、年级、班应用、信息专业
一、 单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）
⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D
二、 填空题（每小题3分，3×6＝18分）
⒈ 2 ⒉ 2
, =2(1)
n u S n n =
+ ⒊ ln 2
⒋ 1, a b e == ⒌ 1± ⒍
20
1
, (,)!n
n x
x n ∞
=∈-∞+∞∑
三、 计算题（每小题6分，6×5＝30分）
1. 解
111
(1)1x x x x
=-++Q
1
(1)
dx x x ∴+⎰ （3分）
11()1dx x x
=-+⎰
ln ln 1.
x x C =-++
（3分）
2. 解 由分部积分公式得
23
1ln ln 3
x xdx xdx =
⎰⎰ 3311
ln ln 33
x x x d x =-⎰ （3分） 33111ln 33x x x dx x =-⋅⎰ 3211
ln 33x x x dx =-⎰ 3311
ln 39
x x x C =-+ （3分） 3. 解 令sin , [0, ]2
x a t t π
=∈ 由定积分的换元积分公式，得
⎰
2
220
cos a
tdt π
=⎰
（3分）
67
220
(1cos 2)2
a t dt π
=+⎰
2
20
1
(sin 2)22
a t t π=+
2
.
4
a π=
（3分）
4. 解 由洛必达(L ＇Hospital)法则得
20
cos lim
sin x
x tdt
x
→⎰
20cos lim cos x x x
→= （4分） 0
limcos x x →=
1=
（2分）
5. 解
= （2分）
20
sin cos x xdx π
=-⎰
420
4
(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx π
π
π=-+-⎰⎰ （2分）
2
40
4
(sin cos )
(sin cos )
x x x x ππ
π=+-+
2.= （2分）
四、 解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）
1. 解 (, ), x n ∀∈-∞∞∀+（正整数）
22
sin 1
nx n n ≤ （3分）
68
而级数
2
11
n n
∞
=∑收敛，故由M 判别法知， 2
1
sin n nx
n ∞
=∑
在区间(,)-∞+∞上一致收敛． （3分）
2. 解 幂级数1n
n x n
∞
=∑的收敛半径1R =
=，
收敛区间为(1,1)-． （2分）
易知1n
n x n
∞
=∑在1x =-处收敛，而在1x =发散，
故1
n
n x n ∞
=∑的收敛域为[1,1)-． （2分）
1
, (1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑ （2分） 逐项求积分可得
0001, (1,1)1x
x n
n dt t dt x t ∞==∈--∑⎰⎰． 即101ln(1), (1,1).1n n
n n x x x x n n
+∞
∞
==--==∈-+∑∑ （2分） 3. 解 函数f 及其周期延拓后的图形如下
函数f 显然是按段光滑的，
故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。

（2分）
由于()f x 在(,)ππ-为奇函数， 故 0, 0, 1, 2, n a n ==…， 而
1
sin 11
cos cos n b x nxdx
x nx nxdx
n n π
ππ
ππ
πππ
π-
-
=
=-+
-⎰⎰
1(1)2
n n
+-⋅= （4分）
所以在区间(,)ππ-上，
1
1
sin ()2(1).n n nx
f x x n
∞
+===-∑ （2分）
69
五、 证明题（每小题5分，5×2＝10分） 1. 证明 由1n n a ∞=∑与1n n c ∞
=∑都收敛知，
级数1()n n n c
a ∞=-∑也收敛。

（1分）
又由 , 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=L ，
可知， 0, 1,2,3,n n n n b a c a n ≤-≤-=L
从而由正项级数的比较判别法知 1()n n n b
a ∞=-∑收敛， （2分）
于是由 (), 1,2,3,n n n n b b a a n =-+=L 知级数
1n n b ∞=∑收敛． （2分）
2. 证明 令2x t π
=-，则2t x π
=-. （1分）
由定积分的换元积分公式，得
0202 sin sin ()2n n xdx t dt πππ
=-⎰⎰－ （2分） 2
200sin ()cos 2n n t dt tdt ππ
π=-=⎰⎰ 20cos n xdx π
=⎰ （2分）
70。