函数的综合及其应用
一、选择题
1．（2017天津）已知函数23,1,
()2
, 1.x x x f x x x x ⎧-+⎪
=⎨+>⎪
⎩
≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16
-
B ．4739
[,]1616-
C
．[- D
．39
[]16
- A 【解析】解法一 根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示
当1x ≤时，若要()|
|2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需2
3()2
x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21
()4(3)02a ∆=--+≤，解得
4716a -≥；当1x >时，若要()||2x
f x a +≥恒成立，结合图象，只需22
x x a x ++≥，
即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当2
2x x
=，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47
[,2]16
-
．选A ． 解法二 由题意()f x 的最小值为114，此时12
x =．不等式()||2x
f x a +≥在R 上恒成立
等价于11
|
|24
x a +≤在R 上恒成立．
当a =-1
2
x =
，11||
|28x -=>，不符合，排除C 、D ； 当3916a =
时，令12x =，394311
||||216168
x +=>，不符合，排除B ．选A ． 二、填空题
x
1．（2017山东）若函数e ()x
f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单
调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 ． ①()2
x
f x -=
②2
()f x x
=
③()3
x
f x -=
④()cos f x x =
①④【解析】①()2()2
x x x x e e f x e -=⋅=在R 上单调递增，故()2x
f x -=具有M 性质；
②()3()3
x x x x e e f x e -=⋅=在R 上单调递减，故()3x
f x -=不具有M 性质；
③3
()x
x
e f x e x =⋅，令3
()x g x e x =⋅，则3
2
2()3(2)x
x
x
g x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，
∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，
∴3()x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，
故()3
f x x =不具有M 性质；
④2
()(2)x
x
e f x e x =+，令()()
22x g x e x =+，
则22
()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++⋅=++>，
∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．
2．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D
f x x x D
⎧∈=⎨
∉⎩其中集合1
{|,}n D x x n n
-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．
8【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且,m n 互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，
因此，
()[0,1)f x ∈110x ≤<x ∈Q x D ∈*,,,2q
x p q p p
=
∈≥N ,p q lg x ∈Q lg (0,1)x ∈*lg ,,,2n
x m n m m
=
∈≥N 10n m
q p
=
10()n
m q p =lg x ∉Q
因此不可能与每个周期内对应的部分相等， 只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分， 且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
3．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC
的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，
CA ，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。

当ABC ∆的边长变
化时，所得三棱锥体积(单位：3cm )的最大值为_______．
OE 交AC 于G ，由题意OE AC ⊥，设等边三角形ABC 的边长
为x （05x <<）
，则6
OG x =
，56GE x =-．
lg x x D ∈lg x x D ∉(1,0)x D ∉1x =11
(lg )1ln10ln10
x x '=
=<1x =()lg 0f x x -
=
F
G O
D F
E
C
B
A
由题意可知三棱锥的高h===
底面2
4
ABC
S x
∆
=，
三棱锥的体积为2
1
34
V x
=⨯=
设45
()5
h x x x
=
，则34
()20
h x x x
'=（05
x
<<），
令()0
h x
'=
，解得x=
(0,
x∈时，()0
h x
'>，()
h x单调递增；
当x∈时，()0
h x
'<，()
h x单调递减，
所以x=()
h x
取得最大值4
h=
所以2
max1212
V===
三、解答题
1．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中%(0100)
x x
<<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
30,030,
()1800
290,30100
x
f x
x x
x
<
⎧
⎪
=⎨
+-<<
⎪⎩
≤
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族S的人均通勤时间()
g x的表达式；讨论()
g x的单调性，并说明其实
际意义．
【解析】(1)当030
x
<≤时，()3040
f x=<恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少
于自驾群体的人均通勤时间；。