J 0.5
(2) mg T ma Tr J
mgr
J mr2
两者区别
TF
T
a r
98 0.2 0.5 10 0.22
21.8
rad/s 2
mg
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例 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两 边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无 相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
ω < 0，角速度方向向下。
|ω|增大，角加速度与角速度同向；
|ω|减小，角加速度与角速度反向。
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绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,
且 ， 都相同
v rM
z ω,
v
rM • M Oθ
an rM 2
刚体
a
dv dt
rM
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角坐标 角速度 角加速度
f (t) (单位：rad)
d f '(t)
dt
d
dt
d 2
dt 2
f "(t)
I II
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当 c
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 ( 0 )
与质点的匀加速直 线运动公式相似
角速度和角加速度的方向：右手螺旋方向
z ω,
ω > 0，角速度方向向上；
0
3
J L/2 x2dx 1 ML2
L / 2
12
平行轴定理
J z' J z ML2
J z' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量 J z ⇒ 刚体绕通过质心的轴 L ⇒ 两轴间垂直距离
z' z M
L C
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常见形状转动惯量
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3.2.4 转动定律的应用举例
M
B B1 B2 B3
Bn
rB
A3
r A A1 A2
An
A
O
y
x
刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结其上 任一质点的运动，通常可选质心作为代表。
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2. 刚体的转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 —— 转动
转轴相对参考系静止 —— 定轴转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量描述
m r
0
t
m1 m2 gt
m1
m2
1 2
m
r
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3.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
3.3.1 绕定轴转动刚体的动能
Δ
m1
,
Δ
m2
,
,
Δm
k
,
,
Δ
m
N
r1, r2, , rk, , rN
3.2 刚体的转动定律
问：质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并 仅考虑力的大小和方向所产生的作用；刚体问题中，是否也 可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动是否有影响？
F
F
圆盘静止不动
F
圆盘绕圆心转动
F
可以反映力及其作用点位置的物理量 —— 力矩
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3.2.1 力矩
课程：《大学物理》 单位：河南警察学院 教师：李东玮
教学基本要求 1. 刚体运动的描述 2. 定轴转动定律 3. 转动中的功和能 4. 角动量定理和角动量守恒定律 重点和难点 1. 转动惯量的理解和计算 2. 角动量定理和角动量守恒的应用
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3.1 刚体运动的描述
3.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。 解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析
物体 m1： m1g T1 m1a1
mr
T2
T1
物体 m2： T2 m2 g m2a2
滑轮
m：
T1r
T2r
J
1 mr 2
2
T2 m2
T1 m1
a r
m2 g
m1g
m1 m2 g
m1
m2
1 2
1.力对点的 力矩 MO r F
大小 M O rF sin
指向由右螺旋法则确定
Mo
O. r
F
2. 力 F 对刚体转轴的力矩
(力F 在垂直于轴的平面内)
z
F//
F
M z (F ) Fr sin
F h Fτ r
(力不在垂直于轴的平面内)
M z (F ) Fr sin Fh Fτ r
内力矩之和为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 M J
与牛顿第二定律比较： M F , J m, a
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3.2.3 转动惯量
定义 J mk rk 2 质量不连续分布 k r J r 2dm 质量连续分布 V
❖确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
3.1.2 刚体的平动和定轴转动
1. 刚体的平动 刚体运动时，其内部任何 一条直线都始终保持和自 身平行
A B
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A
A B
B
平动的特点:
z
rB rA AB
vA vB
aA aB
J 与刚体的总质量有关
例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量
J L x2dx L x2 M dx 1 ML2
0
0L
3
z M
L
J铁 J木
O
dx
x
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J 与质量分布有关
例如细圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2πR R2dl
0
0
R 2 2πR dl 2πR3 m mR2
0
2πR
例如薄圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm ds m 2πrdr 2mr dr
πR 2
R2
J
m r 2dm
0
R 0
2m R2
r 3dr
m 2
R2
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dl m
R O
Rm dr
r O
J 与转轴的位置有关 z
M
L
O
dx
x
z
M
L
O dx
x
J L x2dx 1 ML2
例 一轻绳绕在半径为 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以
F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮
与转轴间的摩擦不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速
rO
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
h r
θ F
A F
Fn
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3.2.2 刚体的转动定律
第 k个质元
Fk fk mk ak
切线方向 Fk f k mk ak
rk
Fk
fk
Hale Waihona Puke 在上式两边同乘以 rk Fk rk fk rk mk ak rk mk rk rk
对所有质元求和
Fk r k fk r k ( mk rk 2 )