实变函数论讲义
程伟 2012 年 12 月 5 日
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目录
第一章 实变函数论综述 1.1 1.2 1.3 Riemann 积分及其缺陷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 实变函数论谈什么？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vitali 覆盖定理
任给 E ⊂ Rn ，{B (x, rx )}x∈E 为 E 的开覆盖，我们引入 Vitaili 覆盖定 理是为了解决下面看似矛盾的因素： (1) 在 {B (x, rx )}x∈E 中选取一族两两互不相交的球； (2) E 被这些球所覆盖。 显然这两者是不可能同时满足的。但我们可以放宽一些要求：Vitali 覆 盖定理牺牲了 (2)，而 Besicovitch 覆盖定理牺牲了 (1)。 为方便起见， 对 Rn 中开 （闭） 球 B， 记 B 的半径为 r(B )。 对 0 < a < ∞， 记 aB 为 B 的同心球且 r(aB ) = ar(B )。 定理 6.1. （Vitali 覆盖定理） 设 E ⊂ Rn 为有界集。设 F 为以 E 中每一点 为中心的开球族，则存在可数开球列 {Bα }∞ ，使得 α=1 ⊂ F （可能有限个） (1) {Bα } 两两互不相交； (2) E ⊂ ∪α⩾1 3Bα 。 证明：不妨设 supB ∈F r(B ) < ∞。我们利用数学归纳法选取这样的球：
5.2.1 5.2.2 5.2.3 第六章 微分 6.1
一般 L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L (R ) 空间，1 ⩽ p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . .
注意第一个球 B1 也可以按照这种方法选得。因为 0 < dα < ∞，故此过程 一直可以继续下去。 由选取过程，(1) 是显然的。 任给 x ∈ E ， 存在 B ∈ F 以 x 为中心， 记 ρ = r(B )。 我们证明 B 必与所 选的球列 {Bα } 中的某球相交。否则任给 α，B ∩ Bα = ∅。这表明前面的选 择过程不会终止。事实上，任给 α，ρ ⩽ dα ，从而 r(Bα ) > dα /2 ⩾ ρ/2 > 0。 因为 ∪α⩾1 Bα 有界，从而其测度有限。但 {Bα } 两两互不相交表明 m( ∪
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第四章 RN 上的 LEBESGUE 测度
第五章 Lp 空间
5.1 5.2
5.2.1 5.2.2 5.2.3 一般 Lp 空间 卷积 Lp (Rn ) 空间，1 ⩽ p < ∞
凸不等式 Lp 空间
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第五章 LP 空间
第六章 微分
6.1
6 极大方法
第五章 Lp 空间 5.1 5.2 凸不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
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参考文献
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目录
第一章
实变函数论综述
1.1 Riemann 积分及其缺陷 1.2 1.3 Lebesgue 积分
实变函数论谈什么？
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第一章 实变函数论综述
第二章 准备工作
2.1
2.1.1 2.1.2 集合的运算 映射·基数
集合论
2.2 2.3
Rn 的拓扑
σ -代数·Borel 集·Baire 定理 2.4 Rn 作为度量空间
α⩾1
Bα ) =
∑
α⩾ 1
m(Bα ) = ∞,
矛盾。 因为 B 与至少一个 Bα 相交，故存在最小的 α ⩾ 1 使得 B ∩ Bα ̸= ∅。 因此 B∩ ∪
β<α
B β = ∅.
这表明 ρ ⩽ dα < 2r(Bα )。任给 y ∈ B ∩ Bα ，若设 z 为 Bα 的中心 |x − z | ⩽ |x − y | + |y − z | < ρ + r(Bα ) < 3r(Bα ), 故 x ∈ Bα 。这就证明了 (2)。 □
6.3 6.4
更多关于覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 可微变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第七章 R1 上函数的微分 7.1 单调函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 7.1.2 7.2 单调函数的可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 单调函数的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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第三章 抽象 Lebesgue 积分 3.1 3.2 3.3 可测集·可测函数·测度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 收敛的模式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 11 11 11 11 13 13
第二章 准备工作 2.1 集合论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4
n
集合的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 映射·基数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B (x,r)
若 |x − x′ | ⩽ r′ − r，则 B (x, r) ⊂ B (x′ , r′ )。 （若 |y − x| < r，|y − x′ | ⩽ |y − x| + |x − x′ | < r′ 。 ）因此 ∫ 1 t< |f (y )| dy m(B (x, r′ )) B (x′ ,r′ ) ∫ 1 = |f (y )| dy m(B (x′ , r′ )) B (x′ ,r′ ) ⩽ M f (x). 这证明了 M f 的下半连续性，从而 M f 可测。
p n
Hardy-Littlewood 极大方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 6.1.2
6.2
Lebesgue 微分定理及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 6.2.2 6.2.3
R 的拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . σ -代数·Borel 集·Baire 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 作为度量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 假设 B1 , B2 , . . . , Bα−1 已经选好，α ⩾ 1，定义 dα = sup{r(B ) : B ∈ F 且 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅}
第六章
微分
若无 B ∈ F 使得 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅，则该过程终止到 Bα−1 ，否则选取 Bα ∈ F ，使得 r(Bα ) > 1 dα 2 且 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅.
有界变差函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
目录 7.3 7.4 绝对连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 进一步的注记 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
上， 1 M f (x) = sup 0<r<∞ m(B (x, r )) 极大函数 M f 具有以下性质 (1) M f 为下半连续函数。
∫ |f (y )| dy.
B (x,r )
若 M f (x) > t，则存在 0 < r < ∞ 使得 ∫ 1 t< |f (y )| dy. m(B (x, r)) B (x,r) 选取 r′ > r 使得 1 t< m(B (x, r′ )) ∫ |f (y )| dy.
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目录 13 13 13 13 13 15 15 15 15 15 15 17 17 17 19 22 22 24 29 31 36 45 45 45 51 54 Vitali 覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hardy-Littlewood 极大函数 . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 微分定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一些应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 磨光子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .