函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。
注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。
（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及)()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。
题型一 判断下列函数的奇偶性。
⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) xx x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。
（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(=（4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。
当()x g ≠0时，)()(x g x f 为偶函数。
（5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ⋅是偶函数，当()x g ≠0时，)()(x g x f 是偶函数。
（6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。
（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为偶函数；若()x g 为奇函数，()x f 为奇函数,则()x F 为奇函数;若()x g 为奇函数，()x f 为偶函数,则()x F 为偶函数.题型二 三次函数奇偶性的判断已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，证明：（1）当0==c a 时，)(x f 是偶函数 （2）当0==d b 时，)(x f 是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如c bx ax x f ++=2)(，当0=b ，)(x f 是偶函数；当0==c a ，)(x f 是奇函数。
题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[]1 2a a -，，则a b += 31 ． 2设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 的值域是 []10,2- ．3 已知))(1(sin )(a x x x x f +-=是奇函数，则a 的值为 1 4已知)ln(sin )(2a x x x x f ++=是偶函数，则a 的值为 1提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。
（2）因为是填空题，所以还可以用)1()1(),1()1(f f f f =--=-。
（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。
题型四 利用函数奇偶性的对称1下列函数中为偶函数的是（ B ）A ．2sin y x x = x y =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -= 2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是AA ．B ．C ．D ．3下列函数中，为偶函数的是（ C ）A ．1y x =+B ．1y x =C ．4y x =D ．y x = 4函数1()f x x x=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称 5已知函数)1(+x f 是R 上的奇函数，且4)1(=-f ，则)3(f =-46已知函数)2(+x f 是R 上的偶函数，则3)3(-=-f ，则)7(f =-3提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。
(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。
(3)在原点有定义的奇函数必有0)0(=f 。
（4）已知函数)(t x f +是R 上的奇函数，则)(x f 关于点)0,(t 对称。
(5)已知)(t x f +是偶函数，则)(x f 关于直线t x =对称。
题型五 奇偶函数中的分段问题1设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则(1)f -=-3 2已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()2f x x x =-，求0x <时，()f x 的表达式。
2)(+=x x x f3已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，232)(x x x f -=，则)3(-f =-45 4已知()f x 是偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，求)4(-f 24 5设偶函数()f x 满足)0(42)(≥-=x x f x ，则(){}20x f x ->={|04}x x x <>或 提示：（1）已知奇函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，则当0<x 时，)()(x g x f --=。
（2）已知偶函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，则当0<x 时，)()(x g x f -=。
类型六 奇函数的特殊和性质1已知函数2)(3+=ax x f ，求)2()2(f f +-的和为4 2已知753()6f x x bx cx dx =-+++，且(3)12f -=，则(3)f =03已知8)(35-++=bx ax x x f ，10)2(=-f ，)2(f =_-26__4已知函数()f x ＝2211x x x +++，若32)(=a f ，则=-)(a f ( 43 ) 提示：已知)(x f 满足，t x g x f +=)()(，其中)(x g 是奇函数，则有t a f a f 2)()(=-+。
题型七 函数奇偶性的结合性质1设()f x 、()g x 是R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数2设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A ．)()(x g x f +是偶函B ．)()(x g x f -是奇函数C ．)()(x g x f +|是偶函数D ．)()(x g x f -|是奇函数3设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式, ，。
提示：（1）已知)(x f 是奇函数，则)(x f 是偶函数。
（2）已知)(x h 是R 上的函数，且)(x f 也是R 上的偶函数和也是R 上的奇函数，满足)()()(x g x f x h +=，则有2)()()(x h x h x g +-=，2)()()(x h x h x f --=。
题型八 函数的奇偶性与单调性 1下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x = 2下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ）cos 2y x =，x ∈R （B ）x y 2log =，x ∈R 且x ≠0（C ）2x xe e y --=，x ∈R （D ）31y x =+，x ∈R 3设，则（ B ）A 既是奇函数又是减函数B 既是奇函数又是增函数C 有零点的减函数D 没有零点的奇函数 4设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ (10)(01)-，， ）5已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是)3,1(-.6已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是)32,31(提示：（1）已知)(x f 是奇函数，且在)0,(-∞上是增（减）函数，则在),0(+∞上也是增（减）函数。
（2）已知)(x f 是偶函数，且在)0,(-∞上是增（减）函数，则在),0(+∞上也是减（增）函数。
（3）已知)(x f 是偶函数，必有)()()(x f x f x f ==-。
题型九 函数的奇偶性的综合问题1已知函数()f x ,当,x y R ∈时，恒)()()(y f x f y x f +=+，且()0,0x f x ><时，又()112f =-（1）求证：()f x 是奇函数；（2）求证：)(x f 在R 上是减函数；（3）求)(x f 在区间[]2,6-上的最值。
最大值1，最小值-3。
2设()上递增，上是偶函数，在区间在0R )(∞-x f ，且有()()3221222+-<++a a f a a f ，求a 的取值范围。
),32(+∞ 练习题一、判断下列函数的奇偶性（1） 1)(2+=x x x f （2）1)(2-=x x f （3）()())1,1(,111-∈-+-=x x x x x f （4）2)(2--=x x x f （5）R x x f ∈=,1)(（5）]2,2[,0)(-∈=x x f （6）x e x f ln )(= (7)x x x f -=3)( (8)x x x f tan sin )(+=（9）1)(2+=x x f ，(10)1)(+=x x f ，(11)x x ee xf -+=)(，(12)x x x f sin )(= (13) x x x f +=2)( ，(14)x x x f cos )(2=，(15)x x f 2)(=，(16))1ln()(2x x x x f -+=,(17)21()ln(1||)1f x x x =+-+ 二、利用函数的奇偶性求参数的值1若函数()2(1)23f x m x mx =-++是偶函数，求m 的值。