正弦定理教学设计
教材分析：
本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一课时内容，本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系、判定三角形的全等都有密切的联系，解三角形问题与与三角函数也紧密相连，两个定理在日常生活和工业生产中有十分广泛的应用，可以说本节既是初中三角形边角关系的延续，又是三角函数知识在三角形中的一个应用，在必修教材中占有十分重要的位置。
教学目标：
（一）知识与技能
1.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
2.能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
（二）过程与方法
1.学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系——正弦定理。
2.在探究学习的过程中，认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
（三）情感、态度与价值观
1.通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识。
2.在运用正弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界。
3.通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值，应用价值，进而领会数学的人文价值，美学价值，不断提高自身的文化素养。
教学重点：
正弦定理的猜想与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：
正弦定理的猜想提出过程。
教学过程：
一、创设情景，导入新课
船从港口A 航行到港口B ，测得AB 的距离为6千米，
在港口B 卸货后将继续向港口C 航行，但此时船员
发现仪表坏了，将不能测量距离，如果船上有测角仪，
测得B 60∠=︒，45C ∠=︒，我们能否帮他计算出
AC 的距离？
这是一个实际问题，我们可以将此转化为数学问题：
“在△ABC 中，已知B 60∠=︒，45C ∠=︒， AB = 6千米，求AC 的长.” 老师：这里△ABC 是斜三角形，已知两角一边，求边长AC. 思考能否求出AC ？
学生：过点A 作高 B A C
?6
老师：很好！这位同学是把问题转化到了直角三角形中来解决的。
让学生表述解题思路，教师板书。
解：过A 作A B D C ⊥
在B Rt A D ∆
中，A sin B A AB sin AB D D =⇒=⋅在C Rt AD ∆
中，A A sin C C C sin C D D A A =
⇒== 二、逻辑推理，探究证明
老师：这个问题我们解决了，但我们思考不能停止，探索也不能停止。
这只是一个特例，我们把它转化为一个一般问题，再加以研究，可能更具有价值。
我们把数值去掉得：C sin C sin A
B AB ⋅∴=，在△AB
C 中，一般用小写的字母表示边长。
B a C =，AB c =，你能发现什么？ 学生：b c sin B sin C
= 老师：我们看这个等式，b 比上它所对角的正弦值=c 比上它所对角的正弦值，而三角形中有三条边和三个角，你还能猜想出什么？ 学生：b c a sin B sin sin A
C == 老师：这只是你合理化猜想，能给出证明吗？
学生：过B 作B A D C ⊥或者过C 作C AB D ⊥即可，过程同上。
老师：很好，同理可证，得b c a sin B sin sin A
C ==。
刚才△ABC 是锐角三角形，对于直角三角形和钝角三角形是否也有这样的关系呢？
A
B C
b
c A B D c b
a A b
老师：这两个都可以证明（有兴趣的同学课后可以证明一下），通过证明，我们发现，在直角和钝角三角形中这个结论都成立。
结论：对任意ABC ∆，总有
sin sin sin a b c A B C
==，我们把这条性质称为正弦定理。
（这就是今天要讲的内容，把课题写在黑板上）
老师：以上我们通过构造直角三角形的方法，分锐角，直角，钝角三种情况 证明了正弦定理，感觉比较麻烦，有没有其他更好的办法证明正弦定理呢？ 学生：可以放在坐标系中研究。
（预习过的学生应该知道，如果没人回答，教师引导：我们前面学习了
任意三角比的定义和 cos αβ±（）展开式的推导，都是在哪里研究的？学生：放在坐标系中研究的）
老师：我们先来回忆一下任意角的三角比的定义。
我们常利用坐标系研究有关角的问题，那么我们能否利用坐标法证明
正弦定理呢？
如图建立直角坐标系。
老师：你能写出点A 的坐标吗？
学生：A c cos B c sin B ⋅⋅（，）
老师：随着角B 从锐角变到直角在变到钝角，点A
形式会发生变化吗？
学生代表：不会，永远是A c cos B c sin B ⋅⋅（，）。
老师：那么我们可以发现：点A 到BC 的距离是c sin B ⋅，而BC = a ，在三 角形中知道了底边和底边上的高，我们能想到什么呢？
学生：三角形的面积。
老师：ABC 1S BC A 1a csin B 2D 2∆⋅=
⨯=，这里我们得到了一个新的三角形面 积公式。
三角形中有三条边和三个角，他们的地位是等价的，如果轮换A ，B ，C ，我们还可以得到什么
学生：同理可得：ABC ABC 11S a bsin C S b csin A 22
∆∆=⋅=⋅，。
c sin B ⋅
老师：所以ABC 111S b csin A a csin B a bsin C 222
∆=⋅=⋅=⋅ 哪位同学能用文字语言叙述一下这个新的三角形面积公式？
学生：三角形的面积 = 任意两边与他们夹角的正弦的积的一半。
老师：接下来等式的左、中、右同除以1abc 2，即得：sin sin sin a b c A B C
== 这种证明方法的优点是避免了繁杂的分类讨论，但我们同学对坐标法接触不多，不容易想到，在今后学到解析几何后，可以进一步的体会到坐标法解决几何问题的优越性。
三、解读定理，加深理解 正弦定理：sin sin sin a b c A B C
== 老师提问：这个定理在结构上有何特征？
学生：各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的对称美.
老师：哪位同学能用文字语言叙述正弦定理
学生：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
老师：学习了正弦定理，那它有什么用呢？让我们先来了解一下“解三角 形”的概念 ：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素。
已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做“解三角形”。
正弦定理是解三角形的工具之一。
老师：正弦定理：sin sin sin a b c A B C
==可以写成几个等式？ 学生：三个：sin sin sin sin sin sin ，，a b a c b c A B A C B C
=== 老师：如果用方程的观点，需要知道几个量，才能求出其他量？
学生：知道三个。
老师：三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。
老师：现在大家能不能直接用正弦定理解决引例中提出的问题。
学生马上得出在ABC ∆中，a sin A sin c C = a sin 6sin 45k sin A sin 60C c m ••︒∴===︒
教师：正弦定理可以解决：已知两角和一边，求另外一边的问题。
（一边是任意的）
正弦定理还可以解决什么问题？
学生：已知两边和一角的问题。
教师：是不是任意一个角？（学生思考）
学生：只能是两边和其中一边的对角的问题。
四、求解例题，巩固定理
例：在△ABC 中，已知A=30º，c=8,a=5,求C 、B 和b(结果保留两位小数) 由正弦定理得sin 8sin 30sin 0.85
c A C a === 53.13C =或126.87C =（注意：考虑不周，遗漏钝角）
当53.13C =时，96.87B =，sin 5sin 96.879.93sin sin 30
a B
b A === 当126.87C =时，23.13B =，sin 5sin 23.13 3.93sin sin 30a B b A =
==. 变式1.若将例题中的条件c=8改为c=3,求C 、B 和b(结果保留两位小数). 由正弦定理得sin 3sin 30sin 0.305
c A C a === 17.46C =或162.54C =(舍) （注意：舍的方法）
∴132.54B =，sin 5sin132.547.37sin sin 30
a B
b A === 变式2.若将例题中的条件c=8改为c=11, 求C 、B 和b ？
由正弦定理得sin 11sin 30sin 1.115
c A C a ===>，所以这样的三角形不存在. 教师：通过以上几题的研究，你体会到了什么？归纳正弦定理可以解决的两类三角形的解的情况。
五、归纳小结
1、正弦定理sin sin sin a b c A B C
==，它是解三角形的工具之一。
2、正弦定理可以解决以下两种类型的三角形：
（1）已知两角及任意一边；
（2）已知两边及其中一边的对角.
六、布置作业
1.作业：教科书习题1.1A 组1、2
2.课外探究
在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的什么条件？。