全等三角形 性质
等腰三角形 等边三角形 判定 对应边相等
对应角相等 一般三角形全等的判定定理： SSS SAS ASA AAS 两直角三角形全等的判定定理： HL 定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

SSS ：三边对应相等的两个三角形全等。

SAS ：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

ASA ：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

AAS ：两角及一组内角的对边对应相等的两个三角形全等。

可利用全等三角形的这一性质 证明线段或角相等。

性质 判定 ①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。

②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。

③两角相等（相等的两个角称为底角）→等角对等边。

④“三线合一”：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。

⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。

（对称性全等） ①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。

前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边对等角。

可用于证明线段或角相等（等腰三角形） ③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形. A 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合B 、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 C 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

（不能直接使用结论证性质 判定 ①轴对称图形，内角平分线（各边中线，各边高线）都是对称轴。

②三边都相等，三内角都相等且为60度。

③“三线合一”且三角形三条中线高线角平分线交于一点O, 这点到三顶点的距离相等（OA=OB=OC ），到三边的距离相等（OD=OE=OF ）。

①有三边相等的三角形是等边三角形 ②有三内角相等的三角形是等边三角形。

③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。

直角三角形 性质 判定 北
师
大
八
年
级
下
第
一
章
三
角
形
的
相
关
证
明 ①两锐角互余（两锐角相加为90度） ②勾股定理（a²+b²=c²）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

③含有30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，60度角所对的直角边等于斜边的3/2倍，较长直角边是较短直角边的3倍。

④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形三边垂直平分线交于斜边中点上，从而此点到三顶点的距离相等） ①两锐角互余（两锐角相加为90度）的三角形是直角三角形 ②有一个内角是90度的三角形是直角三角形。

③勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

特 殊 线 垂直
平分
线 角平
分线
性质:垂直平分线上的任意点到线段两端点的距离相等。

（等腰三角形中三线合一的线段就是底边上的垂直平分线）
判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

（可用于证明点在直线上或三线共点的问题） 三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线交于一点，且这点到三顶点的距离相等（外心） ①作线段垂直平分线：以端点为圆心，以大于线段一半长为半径画弧，并连结四弧的交点的直线
尺规作图 作图
应用 ①到两定点的距离相等：连结两定点的线段，并做其中垂线与已知直线的交点。

（图一）
②到两定点的距离最短：做短距离的点的对称点，并连结对称点与另一点与直线交点。

（图二）
③到三定点的距离相等：做三点所成三角形的两边垂直平分线的交点即可。

（图三）
性质:角平分线上的点到角两边的距离相等。

（角也是轴对称图形，角平分线即是其对称轴）
判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

三角形三内角平分线的性质：三角形三内角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离相等。

（内心）
尺规作图：以角的顶点为圆心,以任意长为半径画弧交两边于两点,再以两交点为圆心,以相同长为半径画弧的交点与顶点的连线。