6
1
4
1
2
5 2
3
3
节点 节点 节点
1 2 3 4
i1+i4+i6 = 0 i2-i4+i5 = 0 i3-i5-i6 = 0 -i1-i2-i3 = 0
4
节点
第3章 电阻电路的分析方法
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二、KVL独立方程数 一个电路的回路往往有很多，如何确定它的一组独立回 路有时不太容易。利用“树”的观念可有助于寻找一个电路 的独立回路组，从而得到独立的KVL方程组。 因为连通图G的一个树中不包含任何回路，而所有节点 又全部被树支连接，可见对任意一个树，每加进一条连支便 形成一个回路，并且此回路除所加一条连支外均由树支组成，
第3章 电阻电路的分析方法
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对于同一个图G的各个不同的树T，其树支的数目都是 相同的。这是因为：假设把图G的全部支路移去，只剩下它
的n个节点，为了构成树，先用一条支路把任意两个节点连
起来。之后，每连接一个新节点，只需要一条支路，这样 把n个节点全部连起来所需要支路数恰好为（n－1）条。 结论：对于一个具有n个节点b条支路的图G来说： 树支数 = n - 1 连支数 = b -(n - 1) 例右图 n = 5 树支数 = 5 - 1 = 4
第3章 电阻电路的分析方法
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结论：当采用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该 电路以及它的图的节点数和支路数将随之而不同。 在电路分析中常取支路的电压、电流参考方向为关联 参考方向。电路的图的每条支路也可以指定一个方向（称为 支路的方向），此方向即该支路电流（或电压）的参考方向。 标有支路方向的图称为有向图(oriented graph)。未赋 予支路方向的图称为无向图。
i1+i4+i6 = 0 i2-i4+i5 = 0 i3-i5-i6 = 0 -i1-i2-i3 = 0
1
3
4
节点
4
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从这4个KCL方程可以看到，每条支路电流均作为一项 出现两次，一次为正，一次为负。这是因为每条支路都是联 结在两个节点之间，从其中一个节点流出，必然流入另一个 节点。因此这4个方程相加，必将得到0=0的结果，即4个方 程是不独立的。而任意取其中3个方程相加，必将得出另一 个方程（相差一个符号）。
2
5 1
6 3
第3章 电阻电路的分析方法
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6
例2：
选树T（1，2，3），则三个基
3 4 5
2
本回路示于下图。按图中支路的参 考方向及回路绕行方向，独立KVL 方程为：
1
-u1+u2+u4 =0； L1：(1,2,4)
2
1 4 3
-u1+u2+u3+u5 =0；
-u2-u3+u6 =0
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第三章 电阻电路的分析方法
重点：
熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法
网孔电流法
回路电流法
节点电压法
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3.1 电路的图 3.2 KCL和KVL的独立方程数 3.3 支路电流法 3.4 回路电流法 3.5 节点电压法
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如果假设把元件的串联组合作为一条支路处理，即把图 (a)中电压源uS1和电阻R1的串联组合作为一条支路。图(a)所
示的电路对应的图如图(c)所示。它共有4个节点和7条支路。 R6 R2
R1 + R3
R4
R5 iS5
uS1-
图(c) 图(d) 图(a) 还可以假设把元件的并联组合作为一条支路，例图(a) 中电流源iS5和R5的并联组合作为一条支路，这样图(a)所示 的电路对应的图如图(d)所示。它共有4个节点和6条支路。
第3章 电阻电路的分析方法
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对于一个平面图可以引入网孔的概念。平面图的一个网 孔是它的一个自然的“孔”，它限定的区域内不再有支路。 例1的图是平面图，它共有三个网孔（1，2，4）；（3， 4，5）；（2，3，6）。这三个网孔也是一组独立回路，其 数目也恰好是该图的独立回路数（l＝b－n＋1） 。
或 i1
i2 i3 i1 i2 i3
抽象 抽象
i1
i2 i3
i=0
+
抽象
_
电路图 （Circuit） 支路 拓扑图(topological graph)表征 了电路的连接性质。
电路的图（Graph） （或称网络拓扑图）
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注意：在图的定义中，节点和支路各自是一个整体，但任 意一条支路必须终止在节点上。移去一条支路并不
第3章 电阻电路的分析方法
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6.子图(subgraph)：若图G1的所有节点和支路都是图G的 节点和支路，则称图G1 为图G的一个子图。 G：
G1 ：
G2 ：
7.回路：回路L是连通图G的一个子图，它具有下述性质：
（1）连通； （2）每个节点所关联支路数恰好为2。
1 7 6 8 2 5 4 3 2 3 1 7 5 回路 2 5 8 4
这种回路称为单连支回路或基本回路。
每一个单连支回路仅含有一条连支，而且这一连支并不 出现在其他单连支回路中，所以一个图G中有多少条连支， 就有多少个单连支回路，它们构成了单连支回路组或基本回 路组。显然，这组回路是独立的。独立的回路数恰好等于连 支数。
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结论：对于一个有n个节点、b条支路的连通图G来说，
A
C
D
B
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A C B D
欧拉用顶点表示陆地区域，用联接 相应顶点的线段表示各座桥（如左图）， 于是七桥问题就变为一道数学问题：在 左图中是否可能连续沿各线段，从某一 始点出发只经过各线段一次且仅仅一次 又回到出发点，即是否存在一条“单行 曲线”。
欧拉得出了一般结论，即存在单行曲线的必要、充分 条件是奇次顶点（联接于顶点的线段数为奇数）的数目为0 或2。显然上图不满足此条件，因此七桥问题的答案是否定 的。
有向图
无向图
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三、图的几个名词 1.路径：从图G的一个节点出发,沿着一些支路连续移动,到 达另一节点所经过的支路就构成了路径。 1 1 2 G2 ： G1： 2 2 3
1
3
4
4
5
6
1 2 3 4 5
3
4
2.连通图(connected graph)：图G中任意两个节点之间至 少有一条路径的图，叫做连通图。G1是一个连通图。若图 G具有互不相连的部分，则称之为非连通图，如G2。
-u2-u3+u6 =0
结论：
从此例中可看到：网孔数＝独立回路数
一个电路的KVL独立方程数等于它的独立回路 数。对平面图来说，还等于该平面图的网孔数。
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3.3 支路电流法
出发点：以支路电流为电路变量。 支路电流法(method of branch current)：以各支路电流为未 知量列写电路方程并进行电路分析的方法。 举例说明： i2 R2 i3 2 R4 i4 对于有n个节点、b条 支路的电路，要求解支路 电流和支路电压，未知量 共有2b个。那么只要列出 2b个独立的电路方程，便 可以求解这2b个变量。
意味着同时把它连接到的节点也移去，所以允许有
孤立节点的存在。若移去一个节点，则应当把与该 节点相连的全部支路都同时移去。 电路的“图”是指把电路中每一条支路画成抽象的
线段而形成的一个节点和支路的集合。显然，此线
段也就是图的支路。 结论：电路是由具体元件构成的支路及节点的集合；电路的 “图”是由线段和点构成的，它反映了电路结构的拓 扑性质。
在七桥问题中，欧拉用点表示陆地，用线段表示桥。 图论中，把一些事物及其之间的联系用点和连接于点与点 之间的线段来表示，因此，图就是一些点与线段的集合。
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一、电路的图(Graph)： 一个图G是节点和支路的一个集合，每条支路的两端 都连到相应的节点上。
图G中的支路是一条抽象的线段，把它画成直线或曲 线都无关紧要。
L3：(2,3,6)
2
6 3
L2：(1,2,3,5)
2 1 3 5
1
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平面电路(planar circuit)：可以画在平面上,不出现支路 交叉的电路。 非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互 交叉。
∴ 是平面电路
总有支路相互交叉 ∴是非平面电路
6 2 1 4 3 5
左图中 b＝6 ；n＝4 ； 网孔数＝3 独立回路数 ： l＝6－4＋1=3 结论：平面图的网孔数也就是独立回路数。
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如按网孔选独立回路，则此时的KVL方程为：
6 2 1 1 3 4 2 5 3
-u1+u2+u4 =0
u3-u4+u5 =0
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3.孤立节点：节点上没有任何支路与之相连。 1 自环 G1 ： 2 2 1 孤立节点 4
4
3
6
3
5
4.自环：在图论中，一条支路不一定连接在两个节点上而 可能连接于一个节点，此时就形成一个自环。 5.相关：图G中任意一条支路恰好连接在两个节点上，则 称此支路与这两个节点彼此相关（或关联）。