ຫໍສະໝຸດ 题设如果圆心角相等
在
同
圆 或
如果弧相等
等
圆
中
如果弦相等
那么 那么 那么
结论 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
要点归纳 弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
圆的对称性
探究归纳 问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 问题2 你是怎么得出结论的？ 用折叠的方法
圆的对称性：
●O
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一
条过圆心的直线.
探究归纳 问题3 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得 到什么结论呢？
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
AB=CD.
能力提升：
我们已经知道在⊙O中，如果2∠AOB=∠COD，则CD=2AB，那么
C⌒D=2⌒AB也成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，那它们之间的关 系又是什么？
解：CD=2AB不成立.理由如下： 取 C的D 中点E,连接OE，CE，DE. 那么∠AOB=∠COE=∠DOE, 所以弦AB=CE=DE, 在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
C
D O
B A
②AB⌒=CD⌒ ③AB=CD
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
B D OC A
AE 1 AB, CF 1 CD.
2
2
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
C
OE OF.
E O·
F
B D
当堂练习
1．如果两个圆心角相等，那么
（D ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
归纳 由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么， AB ，C弦DAB=弦CD
C
B D
·
O
A
在等圆中探究 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依
然成立？为什么？
A
B
C
D
O·
O·′
归纳 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现： 如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦A⌒B=弦C⌒D.
九年级数学《圆的对称性》
学习目标
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的 意义.（难点）
导入新课
情境引入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
讲授新课
（3）如果∠AOB=∠COD，那么__A__B_=_C_D______，_A_B_=_C__D___．
A
E
B
O·
D
F C
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？
为什么？
解：OE=OF.
理由如下：
△OAB和△OCD均为等腰三角形， A
OE AB, OF CD,
AB C
O
E
D
课堂小结
圆
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 圆心的直线； 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
弦、弧、圆心角的关
系
定
理
在同圆或等圆中
圆心角 相等
应用提醒
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等
弦 相等
抢答题
1.等弦所对的弧相等.
（× ）
2.等弧所对的弦相等.
（√ ）
3.圆心角相等，所对的弦相等. ( × )
关系定理及推论的运用
典例精析
例1 如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点， 且A⌒D=C⌒E.BE和CE的大小有什么关系？为什么？
解:BE=CE.理由是：
∵∠AOD=∠BOE， ∴A⌒D=B⌒E. 又∵AD⌒=CE⌒， ∴B⌒E=C⌒E.
180° A
圆的对称性： 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
探究归纳 问题4 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
α
·
O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆中探究 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦A⌒B与弦C⌒D有
怎样的数量关系？
∴BE=CE.
B · O
D
E C
A
例2 如图，AB是⊙O 的直径， BC=CD=DE， ∠COD=35°，
求∠AOE 的度数．
E
D
解： ∵ BC=CD=DE，
C
BOC COD DOE=35 ，
A
· O
B
75 .
例3 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠⌒ACB⌒=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于60 ° .
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D的关系是（ A）
A. A⌒B=2C⌒D
⌒⌒ B. AB>CD
C. A⌒B<CD⌒
D. 不能确定
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO. AD BC，
A
证明： ∵AB⌒=CD⌒，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°，
·O
B
C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
针对训练
( ( ( (
( (
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_A_B__=_C_D___，_∠__A_O__B_=__∠__C_O．D （2）如果 AB=CD ，那么_A__B_=_C_D___，__∠__A_O_B__=_∠__C__O．D