将军饮马模型
一、背景知识：
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦•一天，一
位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它. 从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.
【问题原型】将军饮马造桥选址费马点
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；
三角形两边三边关系；轴对称；平移;
【解题思路】找对称点，实现折转直
、将军饮马问题常见模型
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小
例1：在定直线I上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小.
作法：连接AB，与直线l的交点Q,
Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处,
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q, P为直线I上任意一点,
在"PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB仝AB（当且仅当PQ重合时取=）
例2：在定直线l 上找一个动点P ,使动点P 到两个定点A 与B 的距离之和最小,
即PA+PB 的和最小.
关键：找对称点 作法：作定点B 关于定直线I 的对称点C,连接AC,与直线I 的交点Q 即为所要寻找的点, 即当动点P 跑到了点Q 处，PA+PB 和最小，且最小值等于 AC. 原理：两点之间，线段最短
证明：连接AC ，与直线I 的交点Q ，P 为直线I 上任意一点，
在"PAC 中，由三角形三边关系可知：
AP+PC 仝AC （当且仅当PQ 重合时取=）
2.两动一定型
例3:在/ MON 的内部有一点 A ，在0M 上找一点B ,在ON 上找一点 C ,使得△ BAC 周 长最短.
作法：作点A 关于0M 的对称点A ,作点A 关于ON 的对称点A'',连接A A ''与0M 交于点B ，与ON 交于点C ,连接AB , AC ,△ ABC 即为所求.
原理：两点之间，线段最短
7
例4:在/ MON 的内部有点A 和点B ,在0M 上找一点C ,在ON 上找一点D ，使得四边 形ABCD 周长最短.
作法：作点A 关于0M 的对称点A ,作点B 关于ON 的对称点B',连接A B ,与0M 交 于点C ,与ON 交于点
D ，连接AC , BD , AB ，四边形ABCD 即为所求.
原理：两点之间，线段最短
3.两定两动型最值
例5:已知A 、B 是两个定点，在定直线I 上找两个动点M 与N ，且MN 长度等于定长 d （动
提示：存在定长的动点冋题一定要考虑平移
作法一：将点A 向右平移长度 d 得到点A',作A'关于直线I 的对称点A''连接A'
B ,
交直线I 于点N ，将点N 向左平移长度d,得到点M 。
作法二：作点A 关于直线I 的对称点A i ，将点A1向右平移长度 d 得到点A 2,连接A 2 B , 交直线I 于点Q ,
将点Q 向左平移长度 d ,得到点Q 。
原理：两点之间，线段最短，最小值为
A B+MN
fr-
•
S
/
/
O
点M 位于动点 N 左侧），使 AM+MN+NB
的值最小.
（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河
流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
军营
瞭望台
AC + BD + CD 最短.
例6
:
例6: 直线l i // I 2,在直线l i 上找一个点C ,
直线I 2上找一个点 D ，使得CD 丄12,且
/?
作法: 将点A 沿CD 方向向下平移CD 长度d 至点A ,连接A'B,交I 2于点
DC 丄I 2于点C ,连接AC .则桥CD 即为所求.此时最小值为 A'B+CD
D ，过点D 作
原理: 两点之间，线段最短, 4.垂线段最短型
例7:在/ MON 的内部有一点 A ，在0M 上找一点B ，在ON 上找一点 C ,使得AB + BC
最短.
原理：垂线段最短
点A 是定点，0M , ON 是定线，
点B 、点C 是0M 、ON 上要找的点，是动点.
作法：作点A 关于0M 的对称点A ,过点A'作A'C 丄ON , 交OM 于
点B , B 、C 即为所求。
例8:在定直线I上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA-PB 最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与I的交点，即为所求点P
此时I PA-PB |=0
原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
例9：在定直线I上找一个动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交I于点C,点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
原理：三角形任意两边之差小于第三边例10：在定直线I上找一
个动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-
PB|
最大
作法：作点B关于I的对称点B,连接AB，交交I于点P即为
所求，最大值为AB的长度。
原理：三角形任意两边之差小于第三边
典型例题
1.如图，在等边厶 ABC 中，AB = 6 ,
AD 丄BC , E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点, 且AE = 2，求EM+EC 的最小值
解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ,连接BE ，交AD 于点M ,则ME+MD 最小， 过点B 作BH 丄AC 于点H ,
则 EH = AH -AE = 3 -2 = 1 , BH = BC 2 - CH 2 = . 62 - 32 = 3 ,3 在直角△ BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 =
(3 3)2 + 12 = 2 7
I
「在戢角中.昂AO45JMBAC 的平分蜒交BC 于点D 』M N 分别是AD 和AB 上的动点，
则BM+MN 的最小值是—,
解：作点日关于AD 的对称,, 过扁B •作B E 丄AB 于忌E 「交AD 于庶F
「 则找段G'E 的怏就呈BM +
的最小倩
&Wfl?Rt-AEB'中』
根据勾般是理雕!J. B E - 4
3 + r -A0C 中,AB=2 . Z0AC=3O n .若在AC, AB 上各取一庶M, N r BM+MN 的值
豪小r 则汉彳曙小值
三角形
______________________________________________________________________________________________________
解：作AB关于M 的对称线段AB' ,
过扁用作田N丄AB,垂足为忖「交AC于薦M ,
S!l BN = MB'+MN =MB+MN
B N的檢就星MB+MN的SHMM
SSzB'AN = 2zBAC= 60\ AB h = AB = 2 .
zANB'= 90°” zB' = 30\
AN = 1
在育甫-AB M中.抿据勾股連理圧N = @
Part2.正方形
1 •如砂正方形A旺D的边氏为8, M在DC上，且DM = 2」N見AC上的一动瓠DN + MN的最小值为 _____ t 即在直线AC上求一原N ,便DN+MN最小
解：故咱点D关于AC的对称為B ,连接BM ’
交ACT^N0则DN+MN=BN+MN= BM 翳
BM的长就足DN + MN的最小傅SMft-
BCM中'CM=6, BC = 8 .
则BM=10
故DN+MN的最小值是10
2.如圏所示r正方形ABCD的面积为12 . -ABE足等边三猜形，点E在正方形A0CD内,在对甬域AC上有一爲P」便
PD十PE的和flkh, 5®个翻借为（}
A . 2-^3
B . 2^6
C . 3
D . ^6
解：即在AC上求一扁P （便PE+PD的雷億小
翥D关于直线AC的对称誣扁B ,
连接BE 交AC于点P’则BE 二PE+PE 二
PD+PE ’
BE的氏就是PD+PE的最小fit BE = AB =
2\/3
3 .在边按为2 m的正方形ABCD中倚Q为BC边的中点，点P为对角线AC上T區醸PB、PQ」则-PBQ周长
的
剧励_____________ 血（结）.
解:在AC上求一点P「捷PB+PQ的值最小
•倆B关于AC的对称爲是D点'
.•麒DQ ,与胚的交爲P就是满足条件的点
DQ = PD+PQ = PB+PQ
故DQ的氏就是PB+PQ的量小值在直角-
CDQ 中’ CQ = 1 r CD= 2
鹿勾甌r 得I DQ =。