目录1 基本原理 (1)1.1耦合波理论 (1)1.2高斯光波的基本理论 (9)2 建立模型描述 (10)3仿真结果及分析 (10)3.1角度选择性的模拟 (10)3.2波长选择性的模拟 (13)3.3单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性 (15)3.4多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性 (17)4 调试过程及结论 (18)5 心得体会 (20)6 思考题 (20)7 参考文献 (20)8 附录 (21)高斯光束经透射型体光栅后的光束传输特性分析1 基本原理1.1耦合波理论耦合波理论分析方法基于厚全息光栅产生的布拉格衍射光。

当入射波被削弱且产生强衍射效率时，耦合波理论分析方法适用耦合波理论分析方法适用于透射光栅。

1.1.1耦合波理论研究的假设条件及模型耦合波理论研究的假设条件：(1) 单色波入射体布拉格光栅；(2) 入射波以布拉格角度或近布拉格角度入射；(3)入射波垂直偏振与入射平面；(4)在体光栅中只有两个光波：入射光波 R 和衍射光波 S；(5)仅有入射光波 R 和衍射光波 S 遵守布拉格条件，其余的衍射能级违背布拉格条件，可被忽略；(6)其余的衍射能级仅对入射光波 R 和衍射光波 S 的能量交换有微小影响；(7)将耦合波理论限定于厚布拉格光栅中；图1为用于耦合波理论分析的布拉格光栅模型。

z 轴垂直于介质平面，x 轴在介质平面内，平行于介质边界，y 轴垂直于纸面。

边界面垂直于入射面，与介质边界成Φ角。

光栅矢量K垂直于边界平面，其大小为2/=Λ，Λ为光栅周期，θ为入射角。

Kπ图1布拉格光栅模型R —入射波，S —信号波，Φ—光栅的倾斜角，0θ—再现光满足布拉格条件时的入射角（与z 轴所夹的角），K —光栅矢量的大学，d —光栅的厚度，r θ和s θ—再现光波和衍射光波与z 轴所夹的角度，Λ—光栅周期。

光波在光栅中的传播由标量波动方程描述：220E k E ∇+= （1）公式（2）中(),E xz 是y 方向的电磁波的复振幅，假设为与y 无关，其角频率为ω。

公式（2）中传播常数(),k x z 被空间调制，且与介质常数(),x z ε和传导率(),x z σ相关：222k j c ωεεμσ=- （2）公式(3)中，在自由空间传播的条件下c 是自由空间的光速，μ为介质的渗透率。

在此模型中，介质常量与y 无关。

布拉格光栅的边界由介质常数(),x z ε和传导率(),x z σ的空间调制表示：()()0101cos .cos .K x K x εεεσσσ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（3） 公式(4)中，1ε和1σ是空间调制的振幅，0ε是平均介电常数，1σ是平均传导率。

假设对ε和σ进行相位调制。

为简化标记，我们运用半径矢量x 和光栅矢量K ：x =x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；K=sin 0cos K Φ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ⎣⎦；2/K π=Λ 结合公式（3）和公式（4）：()22..22jK x jK x k j e e βαβκβ-=-++ （4）此处引入平均传输常数β和平均吸收常数α()1202/βπελ=；()1200/2c αμσε= （5）耦合常数κ定义为： ()()11221010124j c πκεεμσελ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（6） 耦合常数κ描述了入射光波R 和衍射光波S 之间的耦合光系。

耦合常数是耦合波理论的中心参量。

当耦合常数0κ=时，入射光波R 和衍射光波S 之间不存在耦合，因此也没有衍射存在。

光学介质通常由他们的折射率和吸收常数来表征。

当满足如下条件时，运用平均传输常数β、平均吸收常数α和耦合常数κ等参量就十分方便。

2n παλ ；()12n z παλ；1n n （7） 公式（8）适用于几乎所有的实际情况。

公式（8）中，n 为平均折射率，1n 是折射率空间调制的振幅，1α是吸收常数空间调制的振幅。

其中，λ是自由空间的波长。

在以上的条件下，可以写出具有较高精确度的平均传输常数β：2n βπ= （8）和耦合常数κ112n j κπλα=- （9）1.1.2光栅中光波的表达式由折射率空间调制的振幅1n 和吸收常数空间调制的振幅1α产生的空间调制的光栅，会使入射光波R 和衍射光波S 产生耦合，并且导致入射光波R 和衍射光波S 之间的能量交换。

通过入射光波()R z 和衍射光波()S z 的复振幅描述光波，入射光波()R z 和衍射光波()S z 沿着 z 方向变化，这种变化产生的原因是由于能量的交换，或者说是由于吸收导致的能量损耗而产生。

在光栅内的全部电磁场是入射光波()R z 和衍射光波()S z 的叠加：()()..j j E R z e S z e ρδρδ--=+ （10）公式(11)中，传播矢量ρ和δ，描述了光栅中衍射的物理过程和传播过程，包含了入射光波()R z 和衍射光波()S z 中的传播常量及传播方向。

传播矢量ρ表示为耦合过程中有入射波的传播矢量。

δ由光栅本身所驱动，与传播矢量ρ和光栅矢量K 相关：.K δρ= （11）公式(12)是体现了能量转换的动力方程。

选择传播矢量ρ和δ，使其尽可能的接近于光栅中衍射现象所描绘的物理过程。

若实际的相位速度与假定值略有不同，根据以上理论，这些差异就会体现在入射光波()R z 和衍射光波()S z 的复振幅中。

1.1.3光栅内布拉格条件图2为入射波R 和信号波S 的传播矢量的大小和方向之间的关系，图 2中标出了倾斜因子R C 和S C 。

传播矢量ρ由x ρ和y ρ给出：sin 00cos x y ρθρρθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （12）图 2入射波R 和信号波S 的传播矢量与光栅矢量K 的关系由公式（12）和公式（13），可得出：sin sin 00cos cos x y K K θδβδβδθβ⎡⎤-Φ⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-Φ⎢⎥⎣⎦（13）与公式(13)相关的矢量如图3所示，它们之间集合于一个以β为半径的圆中。

图3矢量半径(a)近布拉格条件，(b)完全满足布拉格条件图3(a)，不满足布拉格条件，传播矢量δ长度不等于β；图3(b)，满足布拉格条件，传播矢量ρ和δ的长度均等于β。

此时的入射角等于布拉格角度0cos θ，满足布拉格条件：()cos 2K θβΦ-= （14）对于某一固定波长，由于入射角度相对于布拉格角度0θ的偏移θ∆的存在，导致不满足布拉格条件。

同样，对于某一固定入射角，由于入射波长相对于中心波长0λ的偏移λ∆的存在，导致不满足布拉格条件。

如下0θθθ=+∆；0λλλ=+∆ （15）假设偏移量和都很小，角度偏移量θ∆和波长偏移量λ∆对光栅中的衍射有同样的影响。

而且，厚布拉格光栅中的角度选择性和波长选择性有十分密切的关系。

为了更便于观察角度选择性和波长选择性的关系，对公式(15)进行求导，得出:（b ）()0004sin d K d θπθλ=Φ- (16) θλ-之间的关系由失相因子ξ来表示，失相因子ξ出现在耦合波方程中，定义为：()()2222cos 4K K nξβαβθλπ≡-=Φ-- (17) 对公式(18)中失相因子ξ进行泰勒级数展开可产生如下的表达式，其修正了角度偏移量θ∆和波长偏移量λ∆的第一量级:()2.sin 4K K nξθθλπ=∆Φ--∆ (18) 注意到，根据公式(19)，角度偏移量θ∆和波长偏移量λ∆的变化会产生同样的失相因子ξ。

1.1.4光波在光栅内耦合波方程下面可以对耦合波方程进行推导。

联立公式(1)公式(5)，并且插入公式(10)式和公式(11)。

比较等式中的因子，可得到:''2'220z R jR j S S ραβκβ--+= (19)()22''2'220z S jS j S S R σαββσκβ--+-+= (20)根据假设条件，忽略K ρ+和K ρ-方向产生的光波，以及其他高能级衍射波。

此外，假设入射光波()R z 和衍射光波()S z 之间的能量交换很慢，能量吸收也很慢，就可忽略R 和S 。

将公式(18)代入公式(19)和公式(20)，可写为:'R c R R j S ακ+=-（21）()'S c S j S j R αξκ++=- （22）以上两式就是下面所分析的耦合波理论中的耦合波方程。

公式(21)和公式(22)中缩写R c 和S c 分别描写为：cos R z c ρβθ==cos cos S z Kc σβθβ==-Φ （23）衍射过程的物理图像就可以通过耦合波方程公式(21)和公式(22)中所体现。

沿着 z 轴方向传播的光波，由于和其他光波的耦合(),R S κκ,或吸收(),R S αα，而产生了变化。

耦合波模型的能量平衡可以通过下式来表示：()()()()*******20R S c RR c SS RR SS j SR RS ακκ++++++= （24）公式(24)中，星号表示为复振幅共轭。

公式(24)体现了能量平衡。

第一项中的R c 和S c 表示了入射光波()R z 和衍射光波()S z 沿z 轴方向的能量中注入了能量平衡。

第二、第三项描述了由于光栅吸收导致的能量损失。

若有布拉格条件不被满足，会使入射光波()R z 和衍射光波()S z 不再同步，并产生()S ξ。

直接给出解的形式：()()()1122exp exp R z r z r z γγ=+ （25）()()()1122exp exp S z s z s z γγ=+ （26）其中i γ和i s 是由边界条件决定的常数。

把公式(25)和公式(26)代入耦合方程，得：()R i i i c r j s γακ+=- （27）()S i i i c j s j γαξκγ++=- （28）1,2i =将以上两式公式(27)和公式(28)相乘，得到γ的二次式：()()2R i s i c c j j γαγαξκ+++=- （29）其解为：12221,211422R S S R S S R S j j c c c c c c c c ααξααξκγ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-++±--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （30） 1.1.5光栅的角度、波长选择性（1）分析透射光栅中的解图4 波在透射光栅中传播波振幅继续对耦合波的分析，需要确定常数i γ和i s 的大小。

为了确定其大小，需在光栅模型中引入边界条件。

针对透射光栅的边界条件如图4所示。

假设入射波R 在0z =处的大小为一个单位的振幅。

入射波R 向右传播的过程中逐渐减小，并且其能量耦合进S 中。

在透射光栅中，信号波S 在0z =处的大小为零，传播方向向右()0S c >。