如何进行多项式除以多项式的运算
多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：
例1 计算(X2 9x 20)--(x 4)
规范解法
jr+5
JC+4丿疋十9卄20
~5A+20弘
卡20
(x2 9x 20) -：- (x 4) = x 5.
解法步骤说明：
(1)先把被除式x2 9x 20与除式x 4分别按字母的降幕排列好.
(2 )将被除式x2 9x 20的第一项x2除以除式x 4的第一项x，得 X2 - X = X，这就是商的第一项.
(3)以商的第一项x与除式x 4相乘，得x2 4x，写在x2 9x 20的下面.
(4)从x2 9x 20减去x2 4x，得差5x 20，写在下面，就是被除式去掉 x2 4x后的一部分.
(5)再用5x 20的第一项5x除以除式的第一项x,得5x“x=5，这是商的第二项，写在第一项x的后面，写成代数和的形式.
(6)以商式的第二项5与除式x 4相乘，得5x 20，写在上述的差5x 20 的下面.
(7)相减得差0，表示恰好能除尽.
(8)写出运算结果,(x2 9x 20) “ (x 4) = x 5.
例2 计算(6x5 -9x4 7x2 -20x 3) “(2x2 -x-5).
规范解法
齐"-；3十 6—1
2X S -A -5
+7J ( -20A +3~
石才―3尤=□丘 ___________ ~曲+曲+
"xG 3耳"十】5+ _______
12x^ 8^-20x~ 12F-
-2JC J + jc +5
(6x 5 -9x 4 7x 2
-20x
3)“(2x 2
-x-5)
注 ①遇到被除式或除式中缺项，用 0补位或空出；②余式的次数应低于
除式的次数.
另外，以上两例还可用分离系数法求解.如例
2.
3 - 3 十 6 - 1 2-1-5- 9 + 0 ■«■亍】20 + 3
6 - 3 二厲 _______________ -6 + 15 +
7 “ 6 十 3 +15 __________
12 - 8 - 20 12 _ 6 亠30
-2 + 1 + 5
9 ~2
(6x 5 -9x 4 7x 2 -20x 3)“(2x 2
-x-5)
8.什么是综合除法？
由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行， 但当除式为一次 式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊.
如：计算(2x 3 3x-4)“(x -3).
(1)
2/十 6x+2l
⑵ 2 + 6+21 x-3)2x^ 0 + 3x- 4
lfQ + 3 - 4 R-詔
■?： - 6
6J J + 3X
6 + 3
[ 8.x
Si-IS
21A -斗 21-4
21A -63
59
59
因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）.
= 3x ‘ -3x 2 6x-1 ....................... 余 9x-2 .
=3x 3 -3x 2 6x-1 ........................ 余 9x-2 .
还可以再简化.方框中的数 2、6 21和余式首项系数重复，可以不写.再 注意到，因除式的首项系数是1,所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复, 也可以省略.如果再把代数和中的 牛”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2） 就简化成了算式（30的形式：
3换成它的相反数3,减法就化为了加法，于是得到算式（5）.其中最下面一行 前三
个数是商式的系数，末尾一个数是余数.
多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次 项系数为1.
例1用综合除法求x 4「3x 3 3x^3x 12除以x-1的商式和余式. 规范解法
1 1 -3 3 -3 12
1-21-2 1-2 1-2 10
商式二 x 3
-2x 2
■ x -2，余式=10.
例2用综合除法证明2x 5
-15x 3
10x 2
-9能被x ■ 3整除.
规范证法 这里x 3 =x -（-3），所以综合除法中的除数应是—3.（注意被除 式按降幕排列，缺项补0.）
-3 2 0 - 15 10 0 -9 -6 18 -9 -3 9
2-63 1-30
因余数是0,所以2x 5 -15x 3 10x^9能被x 3整除.
当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合 除法
..
将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（ 4），再将算式（4）中的除数一
例3求2x3• x-7除以2x 1的商式和余数.
1
规范解法把2x 1除以2,化为X .-，用综合除法.
2 0 1-7
2 -1
3 - 3
T _7T
但是，商式=2x1 2-x，|，这是因为除式除以2,被除式没变，商式扩大了2 倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变.
二商式=x2 _丄乂• ？，余数=_73.
2 4 4
为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下.
用2x3• x-7除以x -，得商式2x^x -，余数为-73，即
2 2 4
3『1 Y 2 3)3
2x +x—3= x+— I 2x —x+— 1-7-
< 2人2.丿4
“亠打2 1丄3—3
=(2x+仁x -一x+—］一7— .
(2 4丿 4
1 3
即 2x3 - x -3除以2x 1的商式二X2 -一x •-，余数仍为
2 4。