单元十三 磁通量和磁场的高斯定理 1一 选择题01. 磁场中高斯定理：0SB dS ⋅=⎰，以下说法正确的是：【 D 】(A) 高斯定理只适用于封闭曲面中没有永磁体和电流的情况；(B) 高斯定理只适用于封闭曲面中没有电流的情况； (C) 高斯定理只适用于稳恒磁场； (D) 高斯定理也适用于交变磁场。

02. 在地球北半球的某区域，磁感应强度的大小为5410T-⨯，方向与铅直线成060。

则穿过面积为21m 的水平平面的磁通量 【 C 】(A) 0； (B) 5410Wb -⨯； (C) 5210Wb -⨯； (D) 53.4610Wb -⨯。

03. 一边长为2l m =的立方体在坐标系的正方向放置，其中一个顶点与坐标系的原点重合。

有一均匀磁场(1063)B i j k =++通过立方体所在区域，通过立方体的总的磁通量有 【 A 】(A) 0； (B) 40Wb ； (C) 24Wb ； (D) 12Wb 。

二 填空题04. 一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I 。

若作一个半径为5R a =、高为l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a (如图所示)，则B 在圆柱侧面S 上的积分:0SB dS ⋅=⎰。

填空题_10图示05. 在匀强磁场B 中，取一半径为R的圆，圆面的法线n 与B 成060角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S 的磁通量：212m SB dS B R πΦ=⋅=-⎰。

06. 半径为R 的细圆环均匀带电，电荷线密度为λ，若圆环以角速度ω绕通过环心并垂直于环面的轴匀速转动，则环心处的磁感应强度0012B μλω=，轴线上任一点的磁感应强度30223/22()R B R x μλω=+。

07. 一电量为q 的带电粒子以角速度ω作半径为R 的匀速率圆运动，在圆心处产生的磁感应强度04q B Rμωπ=。

08. 一磁场的磁感应强度为B ai bj ck =++，则通过一半径为R ，开口向z 方向的半球壳，表面的磁通量大小为2()R c Wb π。

09. 真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量0m Φ=。

10. 均匀磁场的磁感应强度B 与半径为r 的圆形平面的法线n 的夹角为α，今以圆周为边界，作一个半球面S ，S 与圆形平面组成封闭面，如图所示，则通过S 面的磁通量2cos m r B παΦ=-。

11. 若通过S 面上某面元dS 的元磁通为d Φ，而线圈中的电流增加为2I 时通过同一面元的元磁通为d 'Φ，则12d d Φ='Φ。

三 判断题12. 磁场的高斯定理，说明磁场是发散式的场。

【 错 】 13. 通过磁场的高斯定理可以说明，磁感应线是无头无尾，恒是闭合的。

【 对 】 四 计算题14. 两平行直导线相距40d cm =，每根导线载有电流1220I I A == ，如图所示，求： 1) 两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁感应强度； 2) 通过图中所示面积的磁通量。

(1310,25r r cm L cm ===)填空题_04图示 填空题_05图示计算题_14 图示选择题_01图示通电为I 的长直导线在空间产生的磁感应强度大小：02IB rμπ= 中点磁感应强度大小：01212()B B B I I d μπ=+=+ 02I B dμπ=— 5410B T -=⨯ — 方向向外 P 点的磁感应强度大小：12B B B =+010222()I I B x d x μμππ=+- 穿过长度为L 、宽度为dx 面积元的磁通量为：m d B dS Φ=⋅012()2m I Id ldx x d xμπΦ=+-，穿过长度为L 、宽度为2r 面积的磁通量为：m SB dS Φ=⋅⎰12012()2r r m rI ILdx x d xμπ+Φ=+-⎰−−→0112021211ln ln 22m I L r r I L d r r r d r μμππ+-+Φ=-- 将1212313I I Id r r r r r ==⎧⎪=++⎨⎪=⎩带入得到：01201112ln ln 22m IL r r IL r r r r μμππ+Φ=-+0121ln m IL r r r μπ+Φ=单元十一 安培环路定理 2一 选择题01. 如图所示，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知： 【 B 】(A) 0LB dl ⋅=⎰ 且环路上任意一点0B =； (B) 0LB dl ⋅=⎰ 且环路上任意一点0B ≠； (C) 0LB dl ⋅≠⎰，且环路上任意一点0B ≠； (D) 0LB dl ⋅≠⎰且环路上任意一点B constant =。

02. 所讨论的空间处在稳恒磁场中，对于安培环路定律的理解，正确的是 【 C 】(A) 若0LB dl ⋅=⎰，则必定L 上B 处处为零；选择题_03图示(B) 若0LB dl⋅=⎰，则必定L不包围电流；(C) 若0LB dl⋅=⎰，则L所包围电流的代数和为零；(D) 回路L上各点B仅与所包围的电流有关。

03. 如图所示，12,L L回路的圆周半径相同，无限长直电流12,I I，在12,L L内的位置一样，但在()b图中2L外又有一无限长直电流3I，1P和2P为两圆上的对应点，在以下结论中正确的结论是【C】(A)1212,P PL LB dl B dl B B⋅=⋅=⎰⎰；(B)1212,P PL LB dl B dl B B⋅≠⋅=⎰⎰；(C)1212,P PL LB dl B dl B B⋅=⋅≠⎰⎰；(D)1212,P PL LB dl B dl B B⋅≠⋅≠⎰⎰。

04. 取一闭合积分回路L，使三根载流导线穿过它所围成的面。

现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则【B】(A) 回路L内的I∑不变，L上各点的B不变；(B) 回路L内的I∑不变，L上各点的B改变；(C) 回路L内的I∑改变，L上各点的B不变；(D) 回路L内的I∑改变，L上各点的B改变。

05. 下列结论中你认为正确的是【D】(A) 一根给定磁感应线上各点的B的量值相同；(B) 用安培环路定理可以求出有限长一段直线电流周围的磁场；(C) B的方向是运动电荷所受磁力最大的方向(或试探载流线圈所受力矩最大的方向)；(D) 一个点电荷在它的周围空间中任一点产生的电场强度均不为零，一个电流元在它的周围空间中的某一些点产生的磁感应强度为零；06. 下列可用环路定理求磁感应强度的是【D】(A) 有限长载流直导体；(B) 圆电流；(C) 有限长载流螺线管；(D)无限长螺线管。

二填空题07. 在磁场空间分别取两个闭合回路，若两个回路各自包围载流导线的根数不同，但电流的代数和相同，则磁感应强度沿各闭合回路的线积分相同，两个回路的磁场分布不相同(填相同，或不相同)。

08. 两根长直导线通有电流I，如图所示，有三种环路。

在每种情况LB dl ⋅⎰等于：0Iμ(对环路a )； 0 (对环路b )； 0I μ (对环路c )。

09. 有一根质量为m ， 长为l 的直导线，放在磁感应强度为B 的均匀磁场中B 的方向在水平面内，导线中电流方向如图所示，当导线所受磁力与重力平衡时，导线中电流mgI Bl=。

10. 如图所示，半径为0.5cm 的无限长直导线直圆柱形导体上，沿轴线方向均匀地流着3I A =的电流。

作一个半径为5r cm =，长5l cm =且与电流同轴的圆柱形闭合曲面S ，则该曲面上的磁感强度B 沿曲面的积分为0。

三 判断题11. 只有电流分布具有某种对称性时，才可用安培环路定理求解磁场问题。

【 对 】 12. 对于多个无限长平行载流直导线的磁场问题，由于总的磁场强度不具备对称性，求解过程中不可用安培环路定理。

【 错 】 13. 对于有限长、断面是圆形的载流直导线的磁场问题，由于圆形断面具有对称性，所以可用安培环路定理来求解此导线在周围产生的磁场。

【 错 】 14. 闭合曲线当中没有包含电流，说明闭合曲线中的磁感应强度处处为零。

【 错 】 四 计算题15. 如图所示，无限长载流空心圆柱导体壳的内外半径分别为,a b 电流I 在导体截面上均匀分布，求;;r a a r b r b <<<>各区域中的B 的分布，并定性画出~B r 曲线。

根据安培环路定理：0LB dl I μ⋅=⎰，选取如图所示的圆形回路为闭合路径。

:r a <00LB dl I μ⋅==⎰−−→0B =:a r b << 22222()()I B r r a b a πμππ⋅=--−−→220222I r a B r b a μπ-=- :r b >02B r I πμ⋅=−−→02IB rμπ=，磁感应强度~B r 曲线如图所示 计算题_15图示 计算题_15_01图示16. 如图所示，一根半径为R 的无限长直铜导线，导线横截面上均匀通有电流，试计算:1) 磁感应强度B的分布；2) 通过单位长度导线内纵截面S 的磁通量(如图所示，OO '为导线的轴) 。

根据安培环路定理：0LB dl I μ⋅=⎰—— 选取圆形回路为闭合路径:r R <222I B r r R πμππ⋅=−−→022I B r Rμπ= :r R >02B r I πμ⋅=−−→02IB rμπ= 通过距离轴线为r ，长度为l 、宽度为dr 的面积元的磁通量为：022m Id r ldr RμπΦ=⋅ 通过单位长度导线内纵截面S 的磁通量：0202R m I r dr R μπΦ=⋅⎰ —— 04mI μπΦ= 17. 如图所示，一根外半径为1R 的无限长圆形导体管，管内空心部分的半径为2R ，空心部分的轴与圆柱的轴平行，但不重合，两轴间距为a 且2a R >， 现有电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行。

求 1) 圆柱轴线上的磁感应强度的大小； 2) 空心部分轴线上磁感应强度的大小；3) 设110R mm =,20.5R mm =, 5.0a mm =,20I A =, 分别计算上述两处磁感应强度的大小。

应用补偿法计算磁感应强度。

空间各点的磁场是外半径为1R 、载流为2211122221212()()I IR I R R R R R ππ==--的无限长圆形导体管 和电流方向相反、半径为1R 、载流为2222222221212()()I IR I R R R R R ππ==--的无限长圆形导体管共同产生的。

圆柱轴线上的磁感应强度的大小：12B B B =+ —— 10B =0222I B B aμπ==20222122()IR B a R R μπ=-计算题_16图示 计算题_16_01图示6210B T -=⨯空心部分轴线上磁感应强度的大小：12B B B =+ —— 20B =2110212()I B a a R πμππ⋅= —— 110212I a B R μπ= 将2112212IR I R R =-代入得到： 022122()IaB R R μπ=-，4210B T -=⨯18. 一橡皮传输带以速度v 匀速运动，如图所示橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为σ，试求橡皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度。