第六章 金属电子论
思 考 题
1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?
[解答]
金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目
1/)(+=-T k E E B F e g n ,
g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数
11)(/)(+=-T k E E B F e E f
是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.
2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量?
[解答]
晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数
11/-=T k i B i e n ω .
从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.
3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?
[解答]
自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.
4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?
[解答]
费密能级
3
/222
0)3(2πn m E F
=,
其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.
5.为什么温度升高, 费密能反而降低?
[解答]
当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.
6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大?
[解答]
由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.
价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由式
3/1
2
0)
3(πn
k
F
=
可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 电子的平
均动能E正比与费密能
F
E, 而费密能又正比与电子浓度3/2n:
()3/22
2
03
2
πn
m
E
F
=
,
()3/22
2
03
10
3
5
3
πn
m
E
E
F
=
=
.
所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.
7.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高?
[解答]
电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数. 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径
3/1
2)
3(πn
k
F
=.
可见电子浓度n越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.。