专题一：规律探索题研究【题型导引】题型一：点坐标规律（1）与变换相关的点的规律探寻；（2）与函数相关的点的规律探寻；（3）与其它因素相关的点的规律探寻等。

题型二：数字规律（1）数学文化知识的拓展探寻数字规律；（2）与特殊图形引发的数字规律探寻；（3）与变换过程中的数字规律探寻。

题型三：图形规律（1）与变换相关的图形规律；（2）不同操作形成的规律性图形研究；【典例解析】类型一：点坐标规律例题1：（2019•湖北省鄂州市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝33x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n＋1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n3B．22n﹣13C．22n﹣23D．22n﹣33【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n＋1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n＋1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n＋1都是等边三角形，∵直线y 3x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n＋1＝90°，∴B1B2＝3，B2B3＝23，…，B n B n＋1＝2n3，∴S1＝12×1×3＝32，S2＝12×2×23＝23，…，S n＝12×2n﹣1×2n3＝；故选：D．技法归纳：探索点的坐标变化规律时要注意：①逐一求出(或用字母表示出)相应点的坐标，直到探索出点的坐标变化规律为止；②确定起始点找到探寻方向；③抓住问题的关键点等；④探求出统一的表示形式．类型二：数式规律例题2：（2019•四川省达州市•3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5B．﹣C．D．【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝，故选：D．技法归纳：(1)对于不是循环而有规律排列的数或式，根据前后数或式之间的关系，找出其与序列数n之间的关系，探求其一般表达式；(2)对于循环产生的数或式，先找到其循环周期；(3)对于数阵的规律问题，先求出每行和每列的个数，并观察相邻数据的变化特点，进而得到该行或该列上的数与行列序数的关系． 第一步：标序数；第二步：对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n )之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；第三步：根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验． 类型三：图形规律例题3：(2017·绥化中考)如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为 ．【解析】记原来三角形的面积为S ，第一个小三角形的面积为S 1，第二个小三角形的面积为S 2，…. ∵S 1＝14·S ＝122·S ，S 2＝14·14S ＝124·S ，S 3＝126·S ，∴S n ＝122n ·S ＝122n ·12·2·2＝122n －1.故答案为122n －1.技法归纳：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 【变式训练】1. (2018·成都中考)已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2 018＝ ．【解析】∵S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝1S 2＝－a a ＋1，S 4＝－S 3－1＝a a ＋1－1＝－1a ＋1，S 5＝1S 4＝－(a ＋1)，S 6＝－S 5－1＝(a ＋1)－1＝a ，S 7＝1S 6＝1a ，…， ∴S n 的值每6个一循环．∵2 018＝336×6＋2，∴S 2 018＝S 2＝－a ＋1a .故答案为－a ＋1a.2. (2018·安徽中考)观察以下等式： 第1个等式：11＋02＋11×02＝1，第2个等式：12＋13＋12×13＝1，第3个等式：13＋24＋13×24＝1，第4个等式：14＋35＋14×35＝1，第5个等式：15＋46＋15×46＝1，…按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ；(2)写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明． 【解析】：(1)16＋57＋16×57＝1(2)根据题意，第n 个分式分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1， 故答案为1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝1.证明：1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝n ＋1＋n （n －1）＋（n －1）n （n ＋1）＝n 2＋n n （n ＋1）＝1，∴等式成立．3. （2019•四川省广安市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°，再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°…按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为 （﹣22017，220173）．【解答】解：由题意得， A 1的坐标为（1，0）， A 2的坐标为（13）， A 3的坐标为（﹣2，3）， A 4的坐标为（﹣8，0）， A 5的坐标为（﹣8，﹣3，A 6的坐标为（16，﹣， A 7的坐标为（64，0）， …由上可知，A 点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x 正半轴上，其横坐标为2n ﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n ﹣2，纵坐标为2n﹣，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2，纵坐标为2n﹣，与第四点方位相同的点在x 负半轴上，其横坐标为﹣2n ﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2，纵坐标为﹣2n ﹣与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n ﹣2，纵坐标为﹣2n ﹣∵2019÷6＝336…3，∴点A 2019的方位与点A 23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2＝﹣22017，纵坐标为2故答案为：（﹣22017，2）． 4. (2018·滨州中考)观察下列各式： 1＋112＋122＝1＋11×2， 1＋122＋132＝1＋12×3， 1＋132＋142＝1＋13×4， …请利用你所发现的规律， 计算1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋…＋1＋192＋1102，其结果为 ．【解析】1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142 ＋…＋1＋192＋1102 ＝1＋11×2＋1＋12×3＋1＋13×4＋…＋1＋19×10＝1×9＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋19－110＝9＋1－110＝9910. 故答案为9910.5. (2019•湖南益阳•4分)观察下列等式： ①3－22＝(2－1)2， ②5－62＝(3－2)2， ③7－122＝(4－3)2， …请你根据以上规律，写出第6个等式 ． 【解答】解：写出第6个等式为13－242＝2(76)- 故答案为13－242＝2(76)-6. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，直线l ：y ＝x ＋1分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线l 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线l 于点A 3，依此规律…，若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积为S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积为S 3…，则S n ＝ ．【解答】解：直线l ：y ＝x ＋1，当x ＝0时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝﹣∴A （﹣，0）A 1（0，1）∴∠OAA 1＝30° 又∵A 1B 1⊥l ， ∴∠OA 1B 1＝30°， 在Rt △OA 1B 1中，OB 1＝•OA 1＝，∴S 1＝；同理可求出：A 2B 1＝，B 1B 2＝，∴S 2＝＝＝；依次可求出：S 3＝；S 4＝；S 5＝……因此：S n ＝ 故答案为：．7. （2019•山东潍坊•3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为l ，其中l 0与y 轴重合若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2，…，半径为n ＋1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为 ．（n 为正整数）【解答】解：连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1、l 2、l 3与x 轴分别交于A 1、A 2、A 3，如图所示： 在Rt △OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2， ∴A 1P 12211OP OA -2221-3，同理：A 2P 22232-5，A 3P 32243-7，……，∴P 1的坐标为（ 13），P 2的坐标为（ 25），P 3的坐标为（37），……， …按照此规律可得点P n 的坐标是（n 22(1)n n +-），即（n 21n +） 故答案为：（n 21n +）．8. （2019•四川省达州市•11分）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1＋∠B＝∠A＋∠C＋∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2α．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝85°．③如图4，BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝（m＋n）度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BA D．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝O D．求证：四边形OBCD是菱形．【解答】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，∠A＋∠B＋∠C＝∠BOC＝α，在凹四边形DOEF中，∠D＋∠E＋∠F＝∠DOE＝α，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2α；②如图3，∵∠BEC＝∠EBF＋∠ECF＋∠F，∠F＝∠ABF＋∠ACF＋∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A＋∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；③如图3，由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，∴∠BOC＝∠OBO1000＋∠OCO1000＋∠BO1000C＝（∠ABO＋∠ACO）＋∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000＋∠ACO1000＋∠BAC＝（∠ABO＋∠ACO）＋∠BAC，则∠ABO＋∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO＋∠ACO）＋∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）＋∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC＋∠BAC）＝∠BOC＋∠BAC，∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°＋n°；故答案为：①2α；②85°；③（m＋n）；（2）如图5，连接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD＋∠ABO＋∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．。