特征
化.
A 是主动点， B 是被动点.
推导 将几何条件直接坐标化
将主动点坐标用被动点坐标
过程
表示，带入圆的方程.
（3）轨迹与轨迹方程不同，前者是曲线，后者是方程，但要求轨迹往往先求轨
迹方程.如例 5，若改为求线段 AB 的中点 M 的轨迹，我们根据题意看不出 M 的轨
迹是什么曲线，但先求出点 M 的轨迹方程 (x 3)2 ( y 3)2 1，根据方程就能知
问题解决最佳方案
【方法总结】
【自我检测】
1.方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 0 表示的图形是（ ）.
（A）以 (a, b) 为圆心的圆
（B）以 (a,b) 为圆心的圆
（C）点 (a, b)
（D）点 (a,b)
2.圆的方程为 (x 1)(x 2) ( y 2)(y 4) 0 ，则圆心坐标为（ ）.
.
【典型例题】
例 1 求过三点 O(0,0), M1(1,1), M 2 (4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径长和
圆心坐标.
【方法总结】
2
必修 2 第四章 圆与方程
例 2 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3) ，端点 A 在圆 (x 1)2 y2 4 上运 动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
（
）.
（A） x y 3 0 （B） x 2y 4 0 （C） x y 1 0 （D） x 2 y 0
7. 已 知 圆 x2 y2 kx 2 y k 2 ， 当 该 圆 的 面 积 取 最 大 值 时 ， 圆 心 坐 标
为
.
8.设圆 x2 y2 4x 2 y 11 0 的圆心为 A ，点 P 在圆上，则 PA的中点 M 的
问题解决最佳方案
x2 y2 Dx Ey F 0 ，可以得出如下结论：当二元二次方程具备条件：
① x2 和 y 2 的系数相同，且不等于 0 ，即
；
②没有 xy 项
③ 【感悟】
时，才表示圆.
2.圆的标准方程与一般方程的特点对比
标准方程
一般方程
(x a)2 ( y b)2 r 2 (r 0)
2
2
道点 M 的轨迹是以 ( 3 , 3) 为圆心，半径长是1的圆，这就是解析几何的重要思想. 22
【基础练习】
1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：
（1） x2 y2 6x 0
（2） x2 y2 2by 0
（3） x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0
2.判断下列方程分别表示什么图形:
（1） x2 y2 0 ; （2） x2 y2 2x 4 y 6 0 ；
（3） x2 y2 2ax b2 0 .
3.若方程 a2 x2 (a 2) y2 2ax a 0 表示圆，则 a 等于
.
4.已知 M (1,1), N(2,5) ，则到 M , N 距离相等的点的轨迹是
x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 F 0)
指出了
和
，几何 是一种特殊的
方程，代数特征明显.
特征明显.
二者都含有三个待定参数，要确定方程，均需要三个独立条件.
【感悟】
3.待定系数法求圆的方程
（1）
；
（2）
；
（3）
；
【感悟】
1
问题解决最佳方案
4.轨迹与轨迹方程
轨迹方程是
.
3
问题解决最佳方案
必修 2 第四章 圆与方程
9.圆 x2 y2 Dx Ey 3 0 的圆心在坐标轴上，半径为 2 ，当 D E 时，求
圆的方程.
10.已知一条曲线在 x 轴的上方，它上面的每一点，到点 A(0,2) 的距离减去它到 x 轴的距离的差都是 2 ，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线.
）.
（A） 2 2a
（B） 2 2a
（C） 2a2
（D） 2a
5.到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（
）.
（A）y x
（B）y x
（C）x2 y 2
（D）x2 y2 0
6. 如 果 过 A(2,1) 的 直 线 l 将 圆 x2 y2 2x 4 y 0 平 分 ， 则 l 的 方 程 为
必修 2 第四章 圆与方程
（1）求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标 (x, y) 所满足的等量关
系，并把这个方程化成最简形式，如题目中无坐标系，就要先建立适当的直角坐标系.
（2）阅读例 5 并与推导圆的标准方程的方法对比.
圆的标准方程推导
例5
动点
个数Biblioteka 动点 动点几何条件明显A 点在圆上运动导致 M 变
教后反思
4
（A） (1,1)
（B） ( 1 ,1) 2
（C） (1,2)
（D） ( 1 ,1) 2
3.若方程 x2 y2 4x 2 y 5k 0 表示圆，则 k 的取值范围是（ ）.
（A） k 1
（B） k 1 （C） k 1
（D） k 1
4.圆 2x2 2 y2 4ax 12ay 16a2 0(a 0) 的周长等于（
必修 2 第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
【教学目标】 1．掌握圆的一般方程，理解圆的一般房车与标准方程的联系； 2．初步了解用代数方法处理几何问题，掌握求点的轨迹方程的思想方法.
【重点】圆的一般方程 【难点】点的轨迹方程的求法
【学习探究】
【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材第 121 页～第 123 页） 1.圆的一般方程
（1）方程 x2 y2 Dx Ey F 0 .
①当 ②当 ③当 等于
时，方程表示一个点，该点的坐标为 时，方程不表示任何图形； 时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为
，上述方程称为圆的一般式方程.
； ，半径
（2）比较二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 和圆的一般方程