/
N
1)
0 n N 1
1.0002
w[k] 1
dp=ds =0.0002
1-0.0002
0.0002
k
0
10
20
30
W
Wcc
Ap 0.0017dB，As 74dB
11.4π
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L
FIR窗函数法
28
常用窗函数性质
P389，表7.3，要会用
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FIR窗函数法
29
7.3.5 窗函数法偶对称单位冲激响应的 线性相位FIR DF的设计步骤及举例
(1) 将hd(n) 关于n=0对称截短，即h(n) = hd(n) , Ln L (2) 若 h(n)非因果系统，可将其右移使其成为因果系统
h(n) = hd(n-L)， 0n 2L h(n) 0 n 0
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FIR窗函数法
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设计方法
可实现的处理方案 ➢ 方案二：可设计四种类型的线性相位FIR滤波器
2. 旁瓣的大小决定了FIR滤波器在阻带的衰减
用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为 20lg(9%)21dB
如何提高阻带衰减? 选用旁瓣幅度较小的窗函数
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FIR窗函数法
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设计方法
可实现的处理方案
h(n)偶对称，N为奇数； h(n)奇对称，N为奇数
➢ 方案一：只能设计I型或III型线性相位FIR滤波器
n
n0
n N 1
等于零，即h(n)= hd(n), 0nN-1
结论：上述方法所设计的滤波器是在积分平方
误差最小意义下的最佳滤波器。
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FIR窗函数法
11
7.3.3 窗函数设计法的性能分析
用窗函数截断
窗函数的频谱
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FIR窗函数法
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7.3.3 窗函数设计法的性能分析
频谱泄漏是由于卷积造成的， 决定于窗函数的主瓣宽度
理想线性相位滤波器其幅度响应是矩形的 相频响应是线性的 频域是有限宽的 单位冲激响应ha (n)是无限长的
FIR滤波器其幅度响应是有过度带的
相频响应是线性的
频域是有限宽的
单位冲激响应是将ha (n)截断为有限长的h(n)
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FIR窗函数法
5
7.3.2 理想低通、带通、带阻、高通 的线性相位数字滤波器的表达式
问题：理想滤波器的Hd (ej )已知，设计一物D变理T换F可T逆实 现的滤波器，使其频响特性逼近Hd (ej )。
hd n IDIFT[H
e j
]
1
2
Hd
e j
e jnd
hd (n)一般情况下是非因果、无限长的序列，需对 其进行截断和因果化处理。
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FIR窗函数法
4
7.3.2 理想低通、带通、带阻、高通 的线性相位数字滤波器的表达式
n
1 2 1 ,
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n (int eger)
FIR窗函数法
(7.3.9)
8
7.3.2 理想低通、带通、带阻、高通 的线性相位数字滤波器的表达式
4. 理想线性相位高通滤波器
= (N-1)/2
频率响应
Hd e j
e j ,
0,
c 0 c
单位抽样响应
(7.3.10)
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2
7.3 窗函数法设计
窗函数法是FIR滤波器的最简单的设计方法。它 的要点是寻求适当的冲激响应序列，使滤波器的频率
特性逼近理想滤波器的频率特性。
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设计方法 吉伯斯现象 常用窗函数 Kaiser(凯泽)窗 利用Kaiser窗实现多带滤波器
FIR窗函数法
3
7.3.1 窗函数法的设计思路
1
2
e j e jnd
2
2 1
1 (n
)
s
in[2
(n
)]
s
in[1
(n
)],
n
(2 1) ,
n (int eger)
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FIR窗函数法
(7.3.7)
7
7.3.2 理想低通、带通、带阻、高通 的线性相位数字滤波器的表达式
3. 理想线性相位带阻滤波器
= (N-1)/2
14
吉伯斯现象
产生吉伯斯现象原因分析
由于所设计滤波器的单位脉冲响应
h(n) hd (n)wN (n)
利用DFTF的性质可得所设计FIR滤波器的频率响应
H (ej ) 1 2π
π π
Hd (e j )WN (e j( ) )d
时域的乘积
频域的卷积
窗函数的频谱
H(ej)逼近Hd(ej)的好坏，取决于窗函数的频谱W(ej)
(1) 将线性相位因子ej(0.5(N-1)b加入Hd (ej ) 中 (2) 计算出hd(n)后，取其在0 n N-1范围的值（截断）
h(n) = hd(n) ， 0n N-1
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FIR窗函数法
23
常用窗函数
一般希望窗函数满足两项要求：
1. 窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；
π
H ( ) d
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P383，图7.5
π
-Wc c
FIR窗函数法
WW((W-) )
W
π
c
c 17
吉伯斯现象
矩形窗设计FIR滤波器的频率响应H(ej)
H (ej ) 1 2π
π π
Hd (e j )WN (e j( ) )d
c 2π / N c 2π / N
WW((W- ) )
e jW (k0.5M )dW
1 2π
Wc2
Wc1
e jW (k0.5M )dW
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Wc2 Sa Wc2 (k 0.5M ) Wc1 Sa Wc1 (k 0.5M )
1
Ad (W ) 0
Wc1 W Wc2 π
其他
fd(W)= 0.5MW
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例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线 性相位FIR滤波器。
解： (3) 计算IDTFT得hd[k]
hd [k]
1 2π
ππ
Ad (W )e jfd (W )e jkW dW
1 2π
Wc1
Wc2
2. 尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量
集中于主瓣，这样是肩峰和波纹减小，就可以增大阻带
的衰减。
但是，这两项指标是不能同时得到满足的，往往是增加
主瓣宽度以换取旁瓣的抑制。因而选用不同形状的窗函数都
是为了得到平坦的通带幅度响应和较小的阻带波纹（也就是
加大阻带衰减）。
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FIR窗函数法
2020/4/20
FIR窗函数法
6
7.3.2 理想低通、带通、带阻、高通 的线性相位数字滤波器的表达式
2. 理想线性相位带通滤波器
= (N-1)/2
频率响应
Hd
ei
e j , 0, 0
1 1, 2
2
单位抽样响应
(7.3.6)
IDTFT
hd
n
1
2
1
e j e jnd
设计步骤（P389-390） 特别注意（6）的设计思想
例题 例7.2（P390）
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FIR窗函数法
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例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线 性相位FIR滤波器（陈书）。
解： (1) 确定线性相位FIR滤波器类型：可选用I型或II型
(2) 确定理想滤波器的幅度函数Ad(W)和相位fd(W)
IDTFT
hd
n
1
2
c
e j e jnd
1
e j e jnd
2 c
sin[c (n )], (n )
n
(7.3.11)
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1 c ,
n (int eger)
FIR窗函数法
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7.3.3 窗函数设计法的性能分析
单位冲激响应ha (n)是无限长的偶对称序列 必须要用偶对称的有限长（N点）的窗函数w(n)截断 h(n) = ha(n)w(n)，0≤n ≤N-1 根据时域卷积定理，时域的乘积等于频域的卷积 加窗后的频率响应H(ej )是与窗函数频域响应W(ej ) 的卷积（P381，（ 7.3.15 ）式）
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矩形窗
1
dp=ds=0.09
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常用窗函数
w[k
]
Байду номын сангаас
1 0
0 n N 1
1.09
Ap =20lg(1dp) 0.82dB,
As = 20lg(ds ) 21dB
0.5
0.09
Wc
1.8 π
N
FIR窗函数法
W
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常用窗函数
Hann(汉纳)窗(w=hanning(N))
0.5 0.5cos(2πn / N 1) 0 n N 1 w(n) 0
1.0022
w[k] 1
1
dp=ds =0.002 2
1-0.0022
0.0022
k
0
10
20
30
W
Wcc
Ap 0.019dB, As 53dB
7.0π
2020/4/20
FIR窗函数法
L
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常用窗函数
Blackman窗(w=blackman(N))