第７章
多采样率数字信号处理
第7章 多采样率数字信号处理
7.1 7.2 7.3 7.4 引言 学习要点及重要公式 采样率转换系统的高效实现 教材第8章习题与上机题解答 教材第 章习题与上机题解答
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7.1 引
言
本章内容与教材第8章内容相对应。 在实际系统中， 经常会遇到采样率的转换问题， 要 求一个数字系统能工作在“多采样率”状态。 这样的系统 中， 不同处理阶段或不同单元的采样频率可能不同。 例 如， 在DSP开发仿真实验系统中， 为了抗混叠滤波器设 计实现简单， 降低系统复杂度， 应先统一对模拟信号以 系统最高采样频率采样， 然后， 根据实验者选择的各种 采样频率， 在数字域改变采样频率。
I jω H I (e y ) = 0 π 0≤ ω y < I π ≤ ωy ≤ π I
(7.2.8)
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通带内幅度常数取I是为了确保在m=0, ±I, ±2I, ±3I, …时， 输出序列y(m)=x(m/I)。 整数因子I内插系统的时域输入输出关系式如下：
图7.2.4
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2． 有理数因子 采样率转换系统的功能 ． 有理数因子I/D采样率转换系统的功能 采样率转换系统的功能 有理数因子I/D采样率转换系统首先对输入序列x(n)按 整数因子I内插， 然后再对内插器的输出序列按整数因子 D抽取， 达到按有理数因子I/D的采样率转换。 如果仍用 Fx=1/Tx和Fy=1/Ty分别表示输入序列x(n)和输出序列y(m)的 采样频率， 则Fy=(I/D)Fx。应当注意， 先内插后抽取才能 最大限度地保留输入序列的频谱成分(请读者解释为什么)。
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Fx fs = = Hz 2 2D
相应的数字阻带截止频率为
Fy
(7.2.1)
2πf s π ωs = = Fx D
(7.2.2)
应当注意， 由于抗混叠滤波器工作于输入信号采样频 率Fx， 所以， 式（7.2.2）中用Fx换算得到相应的数字截 止频率， 绝对不能用Fy换算。
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下面对三种常用的采样率转换基本系统的重要知识点 及相关公式进行归纳总结， 以便读者复习巩固。 值得注意， 要理解采样率转换原理， 必须熟悉时域 采样概念、 时域采样信号的频谱结构、 时域采样定理。 此外， 时域离散线性时不变系统的时域分析和变换（Z变 换、 傅里叶变换）域分析理论是本章的分析工具。 只有熟 练掌握上述基础知识， 才能掌握本章的知识， 否则， 无 法理解本章内容。
V ( z) =
m =− ∞
∑
∞
v ( m) z − m =
m =− ∞
∑
∞
v( Im) z − Im =
m =− ∞
∑
∞
x(m) z − Im = X ( z I )
(7.2.11)
计算单位圆上的V(z)得到v(m)的频谱为
V (e jω ) = V ( z ) z = e ω = X (e jI ω )
k =−∞
∞
∞
(7.2.18)
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整数因子D抽取器输出序列y(m)为
y (m) = w( Dm) =
k =− ∞
∑ h( Dm − kI )x(k )
∞
(7.2.19)
式（7.2.19）就是有理数因子I/D采样率转换系统的输入输出 时域关系。 如果线性滤波器用FIR滤波器实现， 则式 （7.2.19）为有限项之和， 所以可以直接按式（7.2.19）编 程序计算输出序列y(m)。 当然， 也可以采用教材上介绍的 各种高效实现结构以硬件或软硬结合来实现。
I X (e jI ω ) jω Y (e ) = 0
π 0≤ ω < I (7.2.15) π ≤ ω ≤ π I
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7.2.3 有理数因子 采样率转换系统 有理数因子I/D采样率转换系统 采样率转换系统
1． 有理数因子 采样率转换系统原理框图 ． 有理数因子I/D采样率转换系统原理框图 采样率转换系统原理框图 有理数因子I/D采样率转换的原理框图如图7.2.4所示。
j
(7.2.12)
I
Y ( z ) = H I ( z )V ( z ) = H I ( z ) X ( z )
(7.2.13) (7.2.14)
Y (e jω ) = H I (e jω )V (e jω ) = H I (e jω ) X (e jI ω )
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理想情况下， HI(ejω)由式（7.2.8）确定， 所以，
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图7.2.3
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综上所述可知， 镜像频谱滤波器的阻带截止频率为
Fx fs = Hz 2
相应的数字域阻带截止频率为
(7.2.6)
2πf s 2πFx / 2 π ωs = = = Fy IFx I
(7.2.7)
应当注意， 由于镜像频谱滤波器工作于输出信号采样 频率Fy， 所以， 式（7.2.7）中用Fy换算得到相应的数字截 止频率， 绝对不能用Fx换算。
(7.2.16)
图7.2.4中各点信号的时域表示式归纳如下：
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线性滤波器输出序列为
l x v(l ) = I 0
线性滤波器输出序列为
l = 0, ± I , ±2 I , ±3I , ⋯
(7.2.17)
其他
w(l ) =
k =−∞
∑ h(l − k )v(k ) = ∑ h(l − kI )x(k )
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整数因子抽取器的输入x(n)和输出y(m)的关系式如下：
y(m) = v( Dm) =
∑
k =0
∞
hD (k ) x( Dm − k )
(7.2.3)
D− 1 D−1 Y ( z) = H D (e − j2 πk / D z1/ D ) X (e− j2 πk / D z1/ D ) D k =0
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抗混叠滤波器的通带截止频率（或过渡带宽度）取决于 抽取系统对信号频谱的失真度要求。 设计时根据具体要求确 定抗混叠滤波器的其他三个指标参数（通带截止频率ωp、 通 带最大衰减αp、 阻带最小衰减αs）。 例如， 要求抽取过程中频带［0, fp］上幅频失真小于1% 0, 1% （显然fp<fs）， 由于抽取引起的频谱混叠失真不超过0.1%。 这时， 抗混叠滤波器的通带截止频率为ωp=2πfp/Fx， 通带最 大衰减为αp=－20 lg(1－1%)=0.0873 dB， 阻带最小衰减为αs= －20 lg(0.1%)=60 dB。
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7.2 学习要点及重要公式
本章要求学生熟悉采样率转换的基本概念和种类， 了 解采样率转换的应用价值和适用场合， 掌握三种常用的采 样率转换基本系统（整数因子D抽取、 整数因子I插值和有 理数因子I/D采样率转换）的基本原理、 构成原理方框图及 其各种高效实现方法（FIR直接实现、 多相滤波器实现)， 每种实现方法的特点。 这些专业基础知识对进一步学习、 设计、 开发工作在多采样率状态的各种复杂系统是极其重 要的。 采样率转换的基本概念和种类， 以及应用价值和 适用场合在教材中已有较详细的介绍， 这里不再重复。
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与抗混叠滤波器情况类似， 根据具体要求确定镜像 频谱滤波器其他三个指标参数（通带截止频率ωp、 通带最 大衰减αp、 阻带最小衰减αs）。 镜像频谱滤波器的ωp（或 过渡带宽度）和αp取决于内插系统对有用信号频谱的保真 度要求， 而αs取决于内插系统对镜像高频干扰的限制指标。 理想情况下， 镜像频谱滤波器的频率响应函数为
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7.3 采样率转换系统的高效实现 采样率转换系统的高效实现
实际上， 采样率转换系统的高效实现就是指其中的 FIR数字滤波器的高效实现。 这里高效的含义有三个方面： 在满足滤波指标要求的同时， ① 滤波器的总长度最小； ② 使滤波处理计算复杂度最低； ③ 对滤波器的处理速度要 求最低。 教材中介绍了采样率转换系统的两种实现方法： 直接 型FIR滤波器结构、 多相滤波器实现。 各种实现方法的原理、 结构及其特点在教材中都有较详细的叙述， 本书不再重复。
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3． 知识要点及重要公式 ． 知识要点及重要公式 图7.2.4中滤波器h(l)同时完成镜像滤波和抗混叠滤波功能。 所以， 理想情况下， 滤波器h(l)是理想低通滤波器， 其频率 响应为
I D jω H (e ) = 0
π π 0 ≤ ω < min , I D π π min , ≤ ω ≤ π I D
∑
jω y
(7.2.4)
Y (e
j 1 D −1 )= H D (e D k =0
∑
2 πk D
) X (e
j
2 πk D
)
(7.2.5)
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在主值区［－π, π］上Y(ejωy)为
Y (e
jω y
1 jω ) = H D (e D
y
/D
) X (e
jω y / D
)
－π≤|ωy|≤π
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由于在数字域改变采样频率完全用软件实现， 所以， 采样频率可以任意选择， 又避免了对各种不同的采样频 率设计各种不同的抗混叠模拟滤波器， 从而使系统复杂 度大大降低。 采样率转换在现代通信、 信号处理和图像处理等领域 都有广泛的应用， 应用实例举不胜举， 本科大学生能理 解的几种实例在教材8.1节有介绍， 这里不再重复。