X D (e jw ) =
∑
n为D的 整数倍
x p [n]e− jwn/D
−2π
−π
−ωM ωM
1 D
π
2π
ω
X D (e jw )
如果当n不为 时， xp[n]＝0 如果当 不为D时 不为
X D (e ) =
jw
k =−∞
∑ x [n]e
p
+∞
− jwn/D
= X p (e jw/ D )
−2π
−π
一旦离散时间序列频谱在一 个周期内的非零部分已经扩 展到将-π到π的整个频带内 填满，就达到了最大可能的 减采样
由上面的讨论可得到最终的原序列和抽取之 后序列的频谱表达式
1 D −1 X p (e ) = ∑ X (e j ( w− kws ) ) D k =0
jw
X D (e ) =
jw
k =−∞
D为周期的 为周期的 脉冲串采样
D倍抽取 倍抽取 表示、传输和存储这 个已采样序列是很不 经济的，因为在采样 点之间明知都是零
脉冲串采样过程
p[n] =
k =−∞
∑ δ [n − kD]
xp[n]
+∞
x[n]
x p [n] = x[n] p[n]
=
k =−∞
∑ x[kD]δ [n − kD]
+∞
k =−∞
∑ x [k ]e
I
+∞
− jwk
X I (e jw ) =
n =−∞
∑
+∞
x[n]e − jwnI
= X (e jwI )
可见内插后的信号 频谱为原始序列频 谱经I倍压缩之后得 到的谱 在未经过滤波的频 谱中，不仅含有基 带分量（图中阴影 部分）还包含其频 率大于π/I的高频部 率大于π/I的高频部 分（高频镜像）， 为了恢复原始谱， 需要对其低通滤波
∑
+∞
x p [n]e− jwn/D = X p (e jw/ D )
1 D −1 X D (e jw ) = ∑ X (e j ( w/ D − kws ) ) D k =0
1 D −1 = ∑ X (e j ( w− 2π k )/ D ) D k =0
图为以D=2抽取前 图为以D=2抽取前 后的频谱结构 因为在抽取前原始 序列的频谱有大于 π/2的频率分量，故 /2的频率分量，故 抽取后产生严重混 叠现象 根据前面所述，因 为在原始序列的频 谱已经填满了整个 频带，已达到最大 减采样，故不能进 行任何倍数抽取
整数倍抽取是指把原始采样序列x[n] (每隔 (D-1))个数据抽取一个，以形成一个新的序 列xD[n]，即
xD [n] = x[nD]
D↓
D=3抽取
原序列和抽取序列频谱关系
为了得到x[n] 和xD[n]频谱之间的关系和不 产生混叠的条件，对抽取过程可以看成先 进行以D为周期的脉冲串采样，然后再进行 D 离散时间抽取的结果
取样率变换的多级实现
前面所讨论的取样率变换（抽取和内插），都是按 单级实现来考虑的，即内插和抽取都一次完成。但 是实际中，当抽取倍数D和内插倍数I很大时，所需 的低通滤波器h[n]的阶数将非常高，乃至无法实现。 所以一个简单的想法就是通过多次小倍数的抽取和 内插完成
带通信号的采样率变换
12
n
X D (e ) =
jw
k =−∞
∑
+∞
xD [k ]e− jwk
1
X (e jw )
因为
xD [n] = x p [nD ]
X D (e jw ) =
k =−∞
∑ x [kD]e
p
+∞
− jwk
−2π
−π
−ωM ωM
1 D
π
2π
ω
X p (e jw )
如果令n=kD，上式等效为 ， 如果令
傅立叶变换相乘性质
1 X p (e ) = 2π
jw
X (e jw )
∫π
2
+∞
P (e jθ )X (e j ( w−θ ) )dθ
−2π
−ωM ωM
P (e jw )
2π D
2π
p[n]的傅立叶变换为
2π P (e ) = D
jw k =−∞
∑ δ [ω − kω ]
s
−2π
ωs
1 D
2π
1 D −1 X p (e jw ) = ∑ X (e j ( w− kws ) ) D k =0
Thinking
同样，考虑一下在IC设计中如何实现内插的动作
Agenda
概述 整倍数抽取 整倍数内插 取样率的分数倍变换 抽取和内插的高级主题 Q&A
取样率的分数倍变换
之前我们讨论的整数倍抽取和内插实际上是 取样率变换的一种特殊情况即整数倍变换的 情况，然而在实际中往往会碰到非整数变换 的情况，即分数倍变换。 那么分数倍变换的情况怎么实现呢？
假设分数倍变换比为：R=D/I（频域） 那么取样率的分数倍变换可以通过先进行I倍内插 再进行D倍抽取来实现。需要注意的是必须内插 在前，抽取在后，以确保其中间序列的基带谱宽 度不小于原始输入序列谱或输出序列谱的基带频 谱宽度，否则将会引起信号失真
↑I
H1 (e jw )
H 2 (e jw )
D↓
Thinking
X (e jw )
−2π
−π
π
X (e j ( w− 2π k )/ D )
2π
−2π
−π
X D (e jw )
π
2π
−2π
−π
π
2π
X (e jw )
为了对该序列进行 D倍抽取，必须先 进行滤波，滤掉频 谱中大于π/D的部 谱中大于π/D的部 分，则抽取后的频 谱就不会发生混叠
−2π
−π
π
H (e jw )
整数倍内插是指在原始采样序列两个抽样 点之间插入(I-1)个零值，以形成一个新的 序列xI[n]，即
n ± ± x[ ] m = 0， I， 2 I ...... I
xI [ n ]
0
其他
↑I
I=3内插
xI[n]
01 2 34 5 6
9
12
n
原序列和内插序列频谱关系
X I (e ) =
jw
如果令k=nI，上式等效为 ， 如果令
FPGA/CPLD
在软件无线电中的工程应用
多数据率信号处理理论篇
中嵌教育() 中嵌教育() David 编著
Agenda
概述 整倍数抽取 整倍数内插 取样率的分数倍变换 抽取和内插的高级主题 Q&A
概述
对于高速无线通信系统，随着采样速率的提 高带来的另外一个问题就是采样后的数据流 速率很高，导致后续的信号处理速度跟不上， 特别是对有些同步解调算法，其计算量大， 如果数据吞吐率太高是很难满足实时性要求 的，所以很有必要对A/D后的数据流进行降速 处理
Agenda
概述 整倍数抽取 整倍数内插 取样率的分数倍变换 抽取和内插的高级主题 Q&A
整倍数抽取
多速率信号处理中的抽取理论是软件无线电 接收机的理论基础。所谓整数倍抽取是指把 原始采样序列每隔（D－1）个数据取一个， 以形成一个新序列，其中D为抽取倍数。需 要注意的是为了防止抽取后的频谱发生混叠， 在抽取前需要先用一个数字滤波器对原信号 进行滤波。经过抽取大大提高了信号的频域 分辩率
ws＝2π/D
−2π
X p (e jw )
−ωM ωM ωs
ωs − ωM
2π
由上图很明显可知，要不发生混叠，需要 满足：
ωs > 2ωM
因为
ωs = 2π / D
ωM < π / D
在后面的讨论中 可以看到该式的 意义
抽取过程
xD [n] = x p [nD]
0 3 6 xD[n] …... 0 12 3 4 …... n 9 xp[n]
Thinking
考虑一下在IC设计中如何实现抽取的动作
Agenda
概述 整倍数抽取 整倍数内插 取样率的分数倍变换 抽取和内插的高级主题 Q&A
整倍数内插
多速率信号处理中的内插理论是软件无线电 发射机的理论基础。所谓整数倍内插就是指 在两个原始抽样点之间插入(I-1)个零值，而 只有将内插零点后的频谱，进行低通滤波才 能将插入的零值点变为准确内插值，经过内 插将大大提值高信号的时域分辩率
对下面的信号，如何进行抽取和内插，才能达到 最大的减采样而又不会带来混叠
X (e jw )
−2π
2π − 9
2π 9
2π
Agenda
概述 整倍数抽取 整倍数内插 取样率的分数倍变换 抽取和内插的高级主题 Q&A
实时处理结构实时处理结构-多相滤波结构
前面的抽取和内插的结构模型对处理速度的要求是 相当高的。这主要表现在抽取器模型中的低通滤波 位于抽取算子之前，也就是说低通滤波器是在降速 之前完成的；而对于内插器模型，其低通滤波器位 于内插算子之后，也就是说内插器低通滤波器又是 在提速之后进行的。这无疑大大提高了运算速度的 要求，对实时处理是及其不利的
提高输出频率（上变频）的内插器方框图为
↑I
H BP (e )
jw
xI' [n]
≤| ω |≤ ( n + 1)
带通滤波器的 频率特性
1
H BP (e )
jw
n

π
I
π
I
0
其他
式中，n=0对应取出原始基带谱，n=1， 式中，n=0对应取出原始基带谱，n=1，2， 3…对应取出基带谱的各次倍频分量 3…对应取出基带谱的各次倍频分量