M′ M
2.1.2 梯度
梯度 若在标量场 (M) 中的一点M处，存在这样一个矢 量，其方向为函数 (M) 在该点处变化率最大的方向，其 模与函数 (M) 在该点处的最大变化率相等，则该矢量为 函数(M)在点M处的梯度，grad。
在直角坐标系中，梯度可表示为
哈密顿算子
grad
x
i
y
j
z
k
x
i
y
j
z
k
A
A
x
i
A
y
j
A
z
k
c3
梯度是标量场不均匀性的量度；
c2
梯度的方向垂直于过该点的等值面，
M
c1
且指向函数增大的方向。
2.1.2 梯度
例：函数 ux＝ux(y)，等值面为垂直于y轴的平面
ux
ux x
i ux y
j ux k ux z y
j dux dy
j
y
ux c3
r2 r1
r3
r4
0
(a)迹线
d c b
a
(b)流线
迹线与流线是两个概 念，一般不重合。
2.1.4 流体运动的描述方法
拉格郎日（Lagrange, J. 1736-1813）法：
选定一个流体质点，对其跟踪观察，描述其运动参数 （如位移、速度等）与时间的关系。 整个流动为各质点运动的汇总。
质点用起始时刻的坐标（a, b, c）进行识别，其位移为
第二章 传递过程基本方程
2.1 流场的一般概念
2.1.1 场的定义与分类
场的定义 数学上将定义了某函数的空间区域称为该函数的场。 流体力学中，将流体运动的全部范围称为流场。 在直角坐标系中，场内的函数可分析地表为
x,y,z,t
标量场与矢量场 标量场：定义的函数为标量函数，例：密度场、温度场
x,y,z,t ,T T x, y, z,t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
ax
ux t
ux
ux x
y
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
u t称为当地加速度，它是 由流场的非稳态性引起的
ux u x uy u y uz u z
称为迁移加速度，它是由 流场的不均匀性引起的
对质点的其它物理量A也可进行上述运算
DA Dt
A t
A x
ux
A y uy
A z
uz
A t
u • A
DA/Dt称为物理量A的随体导数，A/t称 为局部导数，（u•)A称为对流导数
2.1.5 控制体与控制面
控制体与控制面 控制体：位置和大小固定的空间体积。可以是假想的，
也可以是真实的。 控制面：围成控制体的空间曲面。
显然，梯度与等值面垂直，与
ux c2
速度变化率最大的方向一致。
ux c1 M
y
gradux
dux dy
j
y
dux dy
0
dux 0 dy
gradux
dux dy
j
ux
ux
梯度的方总是指向函数值增大的方向。
2.1.2 梯度
【例2.1】已知速度分布u=2xi-0.2xytj+2zk，求空间坐标 点（1,2,1）处t＝2s时的速度分量及速度分量的梯度。
k 0.2yti 0.2xtj
0.2 2 2i 0.21 2 j 0.8i - 0.4j
uz 2k
2.1.3 迹线和流线
迹线：流体质点在空间运动时所描绘出来的曲线，是质 点运动的轨迹（在不同的时刻）。
流线：某时刻流场中的一条空间曲线，该线上任意点的 切线方向与此时刻位于该点处流体质点的速度方 向重合。由于同一时刻同一点处的流体质点只能 有一个速度，因此流线不会相交。
欧拉（Euler, L. 1707-1783）法：
以流动的空间为观察对象，观察不同时刻各空间点上流 体质点的运动参数，将各时刻的情况汇总可描述整个流 动。
每时刻各空间点都有确定的运动参数，可表示如下
ux ux x, y, z,t uy uy x, y, z,t uz uz x, y, z,t
p px, y, z,t T T x, y, z,t x, y, z,t
t 0
t
t 0
t
u
lim
uM ,t
u x
x
u y
y
u z
z
uM ,t
t t0
t
u u lim x u lim y u lim z t x t0 t y t0 t z t0 t
u t
u x
ux
u y
uy
u z
uz
u t
u • u
迹线 t+t•M′
t
•M
2.1.4 流体运动的描述方法
a
u t
矢量场：定义的函数为矢量函数，如：速度场、力场
u ux,y,z,t
2.1.1 场的定义与分类
均匀场与非均匀场 如果同一时刻场内各点的函数值相等，则称此常为均匀 场，反之称为非均匀场。
t, a at
稳态场与非稳态场 如果场内函数值不依赖于时间，即不随时间 t 改变，则 称此场为稳态场（定常场），反之称为非稳态场。
欧拉变数：x, y, z, t
ux、uy、uz代表 t 时刻位于空间点 (x, y, z)处的流体质点的速度！
2.1.4 流体运动的描述方法
流体质点的加速度
du lim uM ,t t uM ,t
dt t0
t
uM ,t t uM ,t uM ,t uM ,t
lim
t 0
t
lim uM ,t t uM ,t lim uM ,t uM ,t
x, y,z, a ax, y,z
2.1.2 梯度
标量场的等值面
标量场中函数值相同的点构成的曲面称等值面，＝c。
标量场的方向导数
方向导数：函数在某点处沿某一方向对距离的变化率。
l
M
lim
M M
M
MM
M
——函数 在M点
沿l方向的方向导数
方向导数的计算公式：
l
l
x
cos
y
cos
z
cos
cos、cos、cos 为l方向上的方向余弦， /x、 /y、 /z 为M点处的偏导数。
解：点（1,2,1）处t＝2s时的速度分量
ux 2x, uy 0.2xyt, uz 2z
ux 2 m s , uy 0.8 m s , uz 2 m s
速度分量ux，uy，uy在点（1,2,1）处t＝2s时的梯度
ux
ux x
i
ux y
j
ux z
k
2i
u y
uy x
i uy y
j uy z
x xa,b,c,t y ya,b,c,t
速度
z za,b,c,t
ux
x t
xa ,b,c ,t
t
加速度
uy
y t
ya ,b,c ,t
t
uz
z t
za ,b,c ,t
t
2x a x t 2
ay
2 y t 2
az
2z t 2
拉格郎日变数：a, b, c, t
2.1.4 流体运动的描述方法