1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
①对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式 m nm C n C n 得到． 图象的对称轴： r
n 2
二项式系数的性质
②增减性与最大值 由于： C
k n

n ( n 1)( n 2 ) ( n k 1) k ( k 1)!
k 1 n
+
+ +
+ + + + +
+
+
+
+
+ + +
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于 它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
杨辉三角
《 九 章 算 术 》
杨 辉
《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
二项式系数的性质
已知
x 4
1 的展开式中只有第10项系数最大, 3 x
n
求第五项
解
依题意 , n 为偶数
且
n 2
1 10 , n 18

4
T5 T 4 1
4 C 18

x

18 4
1 4 3 x
3060 x .
4
变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
( a b ) 展开式的二项式
n
C 系数依次是： , C , C , , C
0 n 1 n 2 n
n n
从函数角度看，C 可看 成是以r为自变量的函数 f ( r ) , 其定义域是： 0 ,1, 2 , , n
r n
当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
复习 二项式定理
(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+„+Cnkan-kbk+„+Cnnbn
展形式的第k+1项为 Tk+1= Cnkan-kbk
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
对称性 增减性与最大值 各二项式系数的和
两个计数原理
二项式定理
排列，排列数公式 组合，组合数公式
应用
0 n 1 n 2 n n n
n
n
( 这就是说， a b ) 的展开式的各二项式系 数的和等于： n 2
同时由于C 1 ，上式还可以写成：
0 n
C C C C 2 1
1 n 2 n 3 n n n n
这是组合总数公式．
例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和。
C
k n

n k 1 k
所以C 相对于C
k 1 n
的增减情况由
n k 1 k
决定
二项式系数的性质
②增减性与最大值 由：n k
k 1 1
n 1 2

k
n 1 2
可知，当 k

时，
二项式系数前半部分是逐渐增大的，由 对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且 中间项取得最大值。
练习
. 已知 (1 2 x )
7
a 0 a1 x a 2 x a 7 x
2
7ห้องสมุดไป่ตู้
则 a 1 a 2 a 7 -2
-1094 a1 a 3 a 5 a 7
a0 a2 a4 a6
1093
小结 (1)二项式系数的三个性质
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值。
二项式系数的性质
②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 C 2 取得最大值；
n n
n 1
n 1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C n 2 相等，且同时取得最大值。
Cn2
二项式系数的性质
③各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
n n
特值法
0 (C C ) (C C )
0 n 2 n 1 n 3 n
C C C C C C
2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
练习 1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( C )
(A)第6项 (B)第7项 （C）第8项 (D)第9项
( a b) C a C a
n 0 n n 1 n n 1
b C a
r n
nr
b C b
r n n
n
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
1 1
0 n
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n 3 n n