数 理 统 计时间：120分钟 2006-12-24一、简要回答下列问题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 1．12,,,n X X X 是来自正态总体()2,N μσ的样本，其中参数μ和2σ均未知，对于参数μ的置信度为1α-的置信区间，试问当α减少时该置信区间的长度如何变化？答：则μ的置信度为1－ α的置信区间)]1([2-±n t nSX α 置信区间的长度)1(2-=n t nS L α，当样本容量给定时，减小α的值会增大)1(2-n t α的值，相应地)1(22-=n t nS L α变长。

2．基于小概率事件原理的显著性假设检验不免可能会犯两类错误：α：第一类错误 β：第二类错误（1）解释这两类错误；（2）说明α和β如何相互影响以及样本容量n 对它们的影响。

答1.P{第一类错误}=P{拒绝H0|H0为真}， P{第二类错误}=P{接受H0|H0为假} 2. 当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增；要同时降低 ， ，需要增加样本容量. 二、（12分）设12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的样本，1．试问2211()nii Xμσ=-∑服从什么分布（指明自由度）？)1,0(~N X i σμ-且独立，)(~)()(1212122n X X ni i ni i χσμμσ∑∑==-=-2．证明12X X +和12X X -相互独立；)2,2(~221σμN X X +,)2,0(~221σN X X -，（12X X +，12X X -）服从二维正态分布二者的协方差为)(00)(),(),(),(),(),2221221221112121=-=-+-=-+-=-+σσX D X D X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV （故12X X +和12X X -不相关, 而（12X X +，12X X -）服从二维正态分布不相关和独立是等价的，故12X X +和12X X -相互独立。

3．假定0μ=，求212212()()X X X X +-的分布。

)2,0(~221σN X X +,)2,0(~221σN X X -)1,0(~221N X X σ+,)1,0(~221N X X σ-)1(~)2(221χσX X +,)1(~)2(221χσX X -又221)2(σX X +和221)2(σX X -相互独立，故212212()()X X X X +-＝)1,1(~1/)2(1/)2(221221F X X X X σσ++ 三、（12分）设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，最小顺序统计量(1)12min(,,,)n X X X X =，1．求随机变量(1)X 的概率密度；⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(~x x f X ，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(x x x x x F而})),,,{min(}{)(21)1()1(z X X X P z X P z F n X ≤=≤= })),,,{m in(121z X X X P n >-= }),,,{121z X z X z X P n >>>-= )](1[)](1[)](1[121z F z F z F n X X X ----= n z F )](1[1--=()()z F z f XX )1()1('=()[]{}n z F dzd--=11()[]()z f z F n n 11--= 1)1(--=n z n ，)10(<<z2．设12,,,n Y Y Y 是来自总体(1)X 的一个样本，求样本方差2211()1ni i S Y Y n ==--∑的期望。

而11)1()(11)1(+=-=-⎰n dz z n z X E n ，)2)(1(2)1()(1122)1(++=-=-⎰n n dz z n z X E n ， )2()1()11()2)(1(2][][)()(222)1(2)1()1(2++=+-++=-==n n nn n n EX X E X D S E四、（12分）设总体X 的概率密度为.,,0,)()(其它θθ≥⎩⎨⎧=--x e x f xθ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，1．求θ的矩估计量1θ∧；矩估计法:1)(-==⎰∞--θθθdx xe EX x ，令X EX =-=1θ, => 1ˆ1+=X θ 2．求θ的最大似然估计量2θ∧；最大似然估计法：设n x x x ,,21 为样本的观察值，则 似然函数为∑===---=∏ni ii x n x ni eeL 1)(1)(θθθ，θθ≥=≥≤≤i ni i x n i x 1min ,,1,即按似然估计的思想，当 似然函数关于θ是增函数，故ix min ˆ2=θ。

θ的最大似然估计量为iX min ˆ2＝θ。

3．1θ∧和2θ∧是不是θ的无偏估计量（说明原因）？θθθ=+-=+=+=+=111)(1)()1(]ˆ[1X E X E X E E ,1θ∧是θ的无偏估计量. X 的分布函数为.,,0,1)()(其它θθ≥⎩⎨⎧-=--x e x F x),,,min(ˆ212n X X X ＝θ的概率密度为()[]())(1ˆ1)(2θθ---=-=x n n ne z f z F n z f θθθθθ≠+==⎰∞--n dx xne E x n 1)ˆ()(2,2θ∧不是θ的无偏估计量。

五、（12分）假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标X 得到两组数据，经对其作相应运算得2110.190,0.006,x s == 2220.238,0.008x s ==假设测定结果服从正态分布()()2~,1,2i i X i μσ=，1．在显著性水平0.10α=下，能否认为2212σσ=？2．求12μμ-的置信度为90%的置信区间，并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。

解 (1) 检验假设2222012112:,:H H σσσσ=≠拒绝域为 ()()2211/2121/21222221,11,1S S F F n n F F n n S S αα-=≥--=≤--或由条件知2212128,9,0.006/0.0080.75,10.90.1n n F S S α======-=查表得 ()()/2120.051,17,8 3.50F n n F α--==， ()()()1/2120.950.05111,17,88,7 3.73F n n F F α---===显然 ()()1/212/2121,10.751,1F n n F F n n αα---<=<-- 接受原假设22012:H σσ=，故可认为2212σσ=，即认为两总体方差相等，也就是两厂生产的产品的指标X 的方差无显著性差异．(2) 求12μμ-的置信区间。

由(1)知2212σσ=，但其值未知，故12μμ-的1α-置信区间为()12/2122X X t n n S α⎛-±+- ⎝计算 ()()221122212110.00712wn S n S Sn n -+-==+-查表 ()()/2120.05215 1.7531t n n t α+-== 故12μμ-的90%置信区间为()12/2122X X t n n S α⎛-±+- ⎝=()0.1900.238 1.75310.120,0.024⎛-±=- ⎝ 因为此区间包含0，故可以认为两总体均值差为0，即两个厂家生产的产品性能指标X 无显著差异. 六、（12分）我校硕士研究生《数理统计》课实行选课、考教分离制，由全校统一命题进行考试，试卷批改也是集体阅卷、流水进行，成绩出来以后要进行多项分析，现从参加该1386x =，2381x =，3377x =，4373x =；1517x =，75.85x =，11585141512==∑∑==i j ij x SS设各成绩值总体服从同方差的正态分布，试仅从学生成绩角度用方差分析法检验各个教师的教学水平是否有明显差异(0.05)α=？解：分别以4321,,,μμμμ 表示不同老师的学生成绩的均值，按题意需检验假设j i H H j i ,:,:143210至少有一对μμμμμμ≠===20,5,4===n n r i 此处，45.7863655.187865555.1845.11506411508378655201517115851241222=--==-=-==-=-=⋅⋅=⋅⋅⋅∑＝A T E i i i A T Q Q Q n x n x Q n x SS Q给定05.0=α,查出24.3)16,3(),1(05.0==--F r n r F α,;)16,3(24.300126.0005.0H F F ，则接受=<=即认为各个教师的教学水平没有明显差异。

七、（12分）为研究蒸馏水的PH 值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中的白蛋白与球蛋白的影响，对蒸馏水的PH 值（A ）取了四个不同的水平，对硫酸的浓度（B ）取了三个不同水平，在不同的组合水平(,)i j A B 下，各测一次白蛋白与球蛋白之比，对其结果进行运算得以下方差分析表的部分数据：1．填充方差分析表的空白数据；2．检验两个因素不同水平下的化验结果是否有明显差异(0.05)α=。

给定05.0=α,查出,26.7)6,2(,76.4)6,3(05.005.0==F F;)6,3(76.441005.0A A H F F ，则拒绝=>=认为因素A 对化验结果有显著影响, ;)6,2(26.781.25005.0B B H F F ，则拒绝=>=认为因素B 对化验结果有显著影响。

y x αβε=++，()2~0,N εσ并算得9130.3ii x ==∑，9191.11i i y ==∑，91345.09i i i x y ==∑，921115.11ii x ==∑，9211036.65ii y==∑。

1．证明β都是12,,,n Y Y Y 的线性组合； 2．线性回归方程y x αβ=+；3．对回归效果的显著性进行检验（显著性水平0.05α=）。

解：1.xx xyL L =βˆ，而∑∑==--=--=n i i i n i i i xy y y x x y y x x L 11))(())((∑=++-+++-=ni ni i ny y n y y x x 121)1()(显然xxxy L L =βˆ是12,,,n Y Y Y 的线性组合。