一元二次方程及韦达定理一、 求解一元二次方程的过程就是一个因式分解的过程 一元二次方程如果有解的话一定可以表示成：))((0212x x x x a c bx ax --==++)0(≠a 其中：21,x x 就是方程的两个根；如果21x x =，就说方程有两个相等的根。
二、 一元二次方程求根的几种办法：1. 十字相乘法：2. 配方法：3. 公式法：4. 猜根+结合韦达定理。
三、 韦达定理1、 韦达定理应用的前提是方程有实根！2、 韦达定理的正向运用： )0(02≠=++a c bx ax 如果有两个根21,x x （可以相等），那么： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 ：得到的是各项系数之间的关系。
3、 若两个实数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =⋅21， 则21,x x 必为方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根。
4、 可以通过韦达定理来判断两个根的符号：1） 通过21x x ⋅来判断两根同号还是异号；2） 通过21x x +来判断两根的正负。
基本题型解法及易错点一、 求解一元二次方程的根：02=++c bx ax1. 如果二次项前面有参数，要先讨论参数是否为0；2. 有根的判断标准是：042≥-=ac b ∆；所以，0<ac 时，一定有两个根；3. 十字相乘法：1） 整数的分解；2） 分数变整数。
4. 求根公式法：运算∆的时候，数字较大时，先不单独运算，提取公因式优先。
5. 猜根+韦达定理：根据题目数字关系，猜测其中的根，根据韦达定理得出另一根。
6. 多参数的，可以看成是其中一个的二次方程。
二、 韦达定理的整体应用1. 如果是含参的一元二次方程，未告知具体根，在使用韦达定理前，一定验证0≥∆。
2. 已知两个实数的和、积关系，求两个实数：1） 通过和、积关系逆推出是一个一元二次方程的根；2） 有两种情况。
3. 已知21,x x 是方程两根，求解有关21,x x 的式子的值：不单独求21,x x ，整体进行代换。
4. ⇒>⋅021x x 两根同号：⇒⎩⎨⎧>+>⋅002121x x x x 两正根；⇒⎩⎨⎧<+>⋅002121x x x x 两负根。
5. ⇒<⋅021x x 一个正根，一个负根。
例题讲解一、 一元二次方程求解例1： 已知0232=--x ax ，根据下列条件，求出a 的取值范围。
1） 方程有两个不同的实根；2） 方程只有一个根。
解：1） 方程有两个不同的实根，首先一定是二次方程，0≠a ，089>+=a ∆，解得：89->a 。
所以方程有两个不同实根时候：89->a 且0≠a2） 方程只有一个根要分情况：当0=a 时，023=--x ，解得32-=x ，满足要求； 当0≠a 时，089=+=a ∆，解得89-=a 。
所以当方程只有一个根时，0=a 或89-=a 。
例题2：判断方程02)2(3)2(222=+---x x x x 的根的个数。
解法1：可以先用换元令t x x =-22，则0232=+-t t 的两个根为2,121==t t ，则：122=-x x 或222=-x x ，解得21±=x 或31±=x 共4个根。
解法2：0189>=-=∆有两个根，又因为0,02121>⋅>+t t t t ，所以0,021>>t t ，所以：022=--t x x 中常数项和二次项异号，所以方程有4个根。
1. 不解方程判断下列方程根的个数1） 01322=++x x2） 091242=++x x3） 01372=++x x4） 010*********92=-+x x 5） x x 112=+ 6） 02)323(3)323(222=+---x x x x 7） 02019)(9)(222=----x x x x2. 讨论下列方程根的个数1） 022=-ax2） 022=+-k x x3） 01)1(2=++-x kk x 的根的个数 例3：求方程01282=+-x x 的根 解法1：十字相乘：6211⨯，所以6,221==x x 解法2：求根公式：2482124882±=⨯-±=x ，所以6,221==x x 解法3：由系数关系，2=x 是方程一个根，则821=+x x ，所以62=x3. 求解下列方程1） 0432=-+x x2） 03722=++x x3） 0472=+-x x4） 012732=+-x x 5） 022542=+-x x二、 韦达定理例1：已知方程0)3(22=++-m x m x 的 一个根式1，求m 的值及另外一个根。
解：由题意知022=--m m ，得2=m 或1-=m当2=m 时，521=+x x ，此时另一根为4当1-=m 时，221=+x x ，方程有两个相等的根，都为1例2：已知方程0)12(22=+++m x m x 有两个不等实根，试判断方程根与零的大小关系。
解：410144)12(22->⇒>+=-+=m m m m ∆，所以：⎩⎨⎧≥<+-=+00)12(2121x x m x x 当0=m 时，方程一个根为0，一个根为1-；当0≠m 时，方程两个根都小于0。
例3：已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出k 1） 方程两实根的积为52） 方程两实根满足：21x x =解：一定特别注意，有两实根一定要先验证∆。
1） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅≥--+=5141044)1(22122k x x k k ∆，得,23≥k 且4±=k ，所以，当4=k 满足条件。
2） 21x x =分两种情况：21x x =或021=+x x当21x x =时，23=k ；当021=+x x 时，1-=k ，不满足0≥∆，舍去。
所以，当21x x =时，23=k 。
思考：为什么例1不用验证∆？例3：若21,x x 是方程0232=--x x 的两个根，求下列各式的值：1） 2221x x + 2） 2111x x + 3）2112x x x x + 4） 21x x -5） )3)(3(21--x x解法1：易得方程的两根分别为2173±，代入上述各式，分别解值。
解法2：由韦达定理可得：2,32121-=⋅=+x x x x ，则132)(212212221=⋅-+=+x x x x x x 2111x x +=232121-=⋅+x x x x 2112x x x x +=213212221-=⋅+x x x x 21x x -=174)(21221=-+x x x x)3)(3(21--x x =29)(32121-=++-⋅x x x x例4：若a 满足0262=--a a ，b 满足0262=--b b ，且b a ≠，求：2222--+--b a a b ？ 解：由题意可知b a ,是方程0262=--x x 的两个不等的实根，所以2222--+--b a a b =241224164)(22)2()2)(2()2()2(222-=+--+=++---+=---+-b a ab ab b a b a a b 1. 若21,x x 是方程0201932=-+x x 的两个根，求下列各式的值：1） 2221x x + 2） 2111x x + 3）2112x x x x + 4） 21x x -5） )6)(6(21--x x2. 已知21,x x 是方程01442==+-k kx kx 的两个实数根，是否存在实数k 使得 23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值。
3. 已知c b a ,,满足4,42-=-=ab c b a ，求c b a ,,的值。
例5：已知实数y x ,满足04923322=+--++y x xy y x ，求y x ,的值。
解法1： 0432324349)2(3249233222222=+-+=+++-+=+--++y y x y y x y x y x xy y x ）（）（，所以，23,0==x y 解法2：04923)3(492332222=+-+-+=+--++y y x y x y x xy y x ，所以 03964)3(222≥-=-+--=y y y y ∆，所以23,0==x y 。
4. 已知实数y x ,满足01222=+-+-+y x xy y x ，求y x ,的值课后练习1. 讨论下列方程根的个数1） 0123112=+-x x 2） 0292322=+-k kx x 3） 01)1(2=-+-aax x a a 4） 0324)2(222=+---x x x x2. 已知02442=-+++b a a ，当m 为何值时，02=++b ax mx 有两个不相等实根。
3. 求下列方程的根1） 02152=-+x x2） 0)3()3(42=-+-x x x 3） 030222=--x x4） 0)12(22=+++-a a x a x5） aa x x 11+=+ 4. 方程012)1(2=---x x k 有两个不等的实根，求k 的取值范围？5. 已知21,x x 是方程0272=+-x x 的两个根，求以32,3221++x x 为两根的，并且二次项系数为1的一元二次方程。
6. 已知方程0)3(222=+-+m x m x 有两个实根，且这两个数的平方和比两个数的积大13，求m 的值。
7. 若01611,0161122=++=++b b a a ，且b a ≠，求ba ab -。
8. 解方程组：⎩⎨⎧=+=+53922y x y x 9. 已知方程016)2(222=-+++m x m x1） 方程有两个正数解，求m 的范围？2） 方程有一正，一负两个解，求m 的范围？10. 已知02=++c bx ax 的两根为3,2，求0)()()(2=--+-++a b c x b c x b c 的根。
11. 已知βα,是方程0522=-+x x 的两根，求ααβα22++的值。
12. 方程0)32(22=+-+k x k x ，是否存在实数k ，满足：1） 321=+x x2） 421=⋅x x13. 已知21,x x 是方程0132=--x x 的两个根，求下列各式的值1） 221221x x x x +2） )12)(12(21++x x 3） 111x x - 4） 2113x x -14. 已知0272322=-+---y x xy y x ，求证：0)1)(2(≥+-x x。