一元三次方程求根问题
一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。

目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。

显然，所有的一元三次方程都可以转化为
x 3+bx 2+cx +d =0的形式，
先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式
()()()B A AB B A AB B A B A B A +-+=--+=+3333
22333 在这里令x =A+B ，m =-3AB ，n =-(A 3+B 3)，则上述公式转为
x 3+mx+n=0
这便是一个特殊的一元三次方程。

而 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=n
B A m B A 333
3327
所以由一元二次方程的韦达定理得A 3与B 3是方程
0273
2
=-+m ny y 的两根， 不考虑A 与B 之间的顺序，得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-=22742274223223m n n B m n n A
故3323
3
227422742m n n m n n B A x +--+++-=+= 在解二次方程时，可以通过配方的方法
将 ax 2+bx +c =0
转化为
04422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b ac 2a b x a 再将a
b x 2+换元，以达到消去一次项的目的。

那么，在解x 3+bx 2+cx +d =0的过程中，是否也有类似的方法呢？ 我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项， 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++2733323
23b d x b c b x d cx bx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2723333323
b b
c
d b x b c b x 这就转为x 3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得
3
2233b t n t n x ---++-= 其中108
441827274,3,27233
32223223c d b bcd c b d m n t b c m b bc d n ++--=+=-=+-= 以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。

如果考虑虚数，在复数的范围内运算，一元三次方程应当有三个根。

在上述方法中，另两个根可能要应用到虚数的一些概念和性质，若只考虑实数，无法将其解出。

接下来尝试一下在复数范围内，能否将另两个根解出。

设刚才求出的根为x 1=A +B,先考虑x 3+mx+n=0形式的方程，
方程可化为 x 3-3ABx -(A 3+B 3)=0
由韦达定理可得 ⎪⎩
⎪⎨⎧+=-=++=++3332113322132130B A x x x AB x x x x x x x x x 代入x 1=A +B ，得 ⎩⎨⎧+-=+-=+223
232)(B AB A x x B A x x 再由二次方程韦达定理逆定理可得，x 2、x 3为方程
0)()(222=+-+++B AB A z B A z 的两根 解得2
)(3)(2)(3)(2B A B A B A B A z --±+-=--±+-= 不考虑x 2与x 3的顺序，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅-+-+⋅---=⋅---+⋅-+-=B A x B A x 23123123123132 故方程x 3+mx+n=0的解为
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--⋅+-+++-⋅--=+--⋅--+++-⋅+-=+--+++-=332332333233223323321274223127422312742231274223127422742m n n i m n n i x m n n i m n n i x m n n m n n x 再代入108
441827274,3,27233
32223223c d b bcd c b d m n b c m b bc d n ++--=+-=+-=， 并将三个结果分别减去3
b ，便可得一般一元三次方程x 3+bx 2+cx +d =0的三个根的求根公式，由于公式太长，就不列出来了，实际应用的时候可以分步先求出m 、n ，再求解。

以上方法通过多次换元得到公式，求得的公式非常繁琐，可能不太常用，但我想这种换元的思路还是很重要的。