系数检验表，查表明取自由度，得到相关系数临界值。
（3）进行判别。
当时，与在显著水平下显著相关，检验通过。
当时，与线性关系不显著。
3．检验
检验用来检验与之间是否存在显著的线性统计关系。如果检验结果
是否定的，即与之间不存在显著的线性统计关系，那么，所建立的回归
预测模型无效，不能用来进行预测。的计算公式为
从式（2-9）可以看到反映了回归预测模型所得的估计值与实际值的
平均误差，所以希望的值越小越好。一般要求
（2-11）
2．相关系数检验
相关系数，用来检验两个变量之间的线性相关的显著程度，其计算
公式为
（2-12）
或
（2-13）
此外，的另一种算法为
Hale Waihona Puke （2-14）数学上可以证明（2-12）式或（2-13）式与（2-14）式是完全等价的。
（2-15）
或
（2-16）
由式（2-16）可知值与值之间有一定关系，若显著水平已知时，由
表可查得的临界值，可以求出相应的相关系数临界值
即
（2-17）
和相关系数检验一样，检验也是通过查得临界值，然后进行比较来
进行判断的。其方法如下：
（1）按（2-15）或（2-16）式计算值；
（2）拟定显著性水平（一般取），查检验表，取自由度，得临界
系的。但是，事实上，自变量与因变更的关系并不完全是一条直线，而 只是近似一条直线。
但是怎样的直线才能最好地反映了与的关系呢？就是说，是否有一 种方法使所确定的回归系数、是最佳的呢？最常用的方法是最小二乘 法。即参数、的估计，一般采用最小二乘法。
对于预测对象，相关因素，可以收集到对数据： 如果经回归分析得到回归预测模型如式2-1所示，则对于每一个相关 因素的值对应有一个的估计值。 则实际值与估计值一般是不相等的，存在一个偏差，称为估计误差 或残差，用表示。 即 或写成 最小二乘法是以误差平方和最小这一原理来估计系数，从而建立回 归预测模型的。设以表示误差平方和，则有：
科技水平为基础的。此外，有时间序列数据的处理中，因采用内插、平
滑等方法，也会引起序列相关问题。因此，序列相关在回归分析中是经
常遇到的现象。 但是，由于存在序列相关，当采用最小二乘法建立回归预测模型
时，将会使、的估计不再具有最小方差，不再是有效的估计量，将会使 系统检验功能减小，置信区间过宽，使预测失效。因而，必须对回归预 测模型进行序列相关检验，以保证预测结果的有效性。
表2-1 检验判别表
值
检验结果
否定假设，有负序列相关
否定假设，有正序列相关
接受假设，无序列相关
检验无结论
检验无结论
但是，由于回归预测模型是经过数理统计方法得到，有一定的误 差，因而使预测结果也有一定的误差，即预测结果有一定的波动范围， 这个范围称为置信区间，其计算方法如下：
（1）按式（2-10）或（2-11）计算标准离差。 （2）确定置信区间 在大样本（）时，如果取置信度为，则置信区间为
如果
则得
即
当时，实际值完全落在回归直线上，与有完全的线性关系。
当时，与有一定的线性正相关关系，即随的增加而增加。
当时，与有一定的线性负相关关系，即随的增加而减少。
当时，则说明与之间不存在线性关系，或许是因为两者之间的确没
关系，或是二者之间不存在线性关系，而存在某种其它关系。
由此可以看到，只有当接近于1时，才能用一元线性回归预测模型来
（2-2） 很显然，是参数、的函数，当求最小时，根据微分学中极值原理 有： 即
（2-3） （2-4） 求解上联立方程可得
取 为的平均值， 为的平均值。
代入（2-5），（2-6）式中，并将简写为，则有
按式（2-7）、（2-8）求得的参数所建立的一元线性回归预测模型具有 最小的误差平方和。
二、模型检验
（2-19） 式中是在显著性水平为，自由度为时的统计量，查检验表得到。 在小样本（）的情况下，要对标准离差进行修正。对于给定自变量
的值，其修正系数为 则置信区间为
（2-20） （2-21）
型来说。
为随机误差项。回归模型的统计特征有一个假定，即是互不相关
的。如果这个假定不能满足，就称是相关的，即存在序列相关，反之，
是独立的，不存在序列相关。
应该认识到，序列相关是一种常见的现象，如在社会经济系统中，
人口的增加与前一年或几年人口有关，年的投资可能与年的投资有关，
甚至与、年或更早些时的投资有关，科技进步水平的提高也是与以往的
2.1 一元线性回归预测
回归预测在研究社会许多现象之间的定量关系方面有着十分广泛的 应用，一元线性回归预测是最基本的、最简单的预测方法，是掌握其它 回归预测方法的基础。
一、参数估计
一元线性回归预测模型的数学表达式是一元线性方程： （2-1）
式中：——预测对象，因变量或被解释变量； ——影响因素，自变量或解释变量； ——回归系数。 其含意表示事物主要受一个因素的影响，而且这种影响是呈线性关
描述与之间的关系，但在实际预测中，的值不一定十分接受于1，这
样，应该大到什么程度，回归预测模型才有实际意义呢？实际检验中是
通过与临界相关系数。的比较来判断的，这个过程叫相关性检验，其方
法如下：
（1）按式（2-12）、（2-13）或（2-14）计算；
（2）拟定显著性水平，（一般取，即95%的置信度），然后查相关
检验方法如下： （1）计算的值。 统计量定义为
（2-18） （2）拟定显著水平，查检验表，查得在样本个数为，变量个数时的 临界值。 （3）判别。判别的原则如表2-1。
三、回归预测模型的预测和置信区间计算
经以上检验并通过后，回归预测模型可用于预测。预测时，先确定 自变量的值，然后代入所建立的回归预测模型，便可计算得到因变量的 预测值。在确定自变量的值时，可能根据计算值得到，也可以通过其它 预测模型，如时间序列模型得到。
回归预测模型建立后，是否与实际数据有比较好的拟合度其模型的线
性关系的显著性如何？能否用来进行实际预测？必须进行数理统计和实
际意义检验。常用的统计检验有，标准离差（）检验、相关系数检验、
显著性检验和随机性检验。
1．标准离差检验
标准离差，用来检验回归预测模型的精度，其计算公式为：
（2-9）
或
（2-10）
值；
（3）进行判别。
当时，认为与之间在显著水平下的存在线性统计关系，检验通过，
所建回归预测模型有效。
当时，认为与之间在显著水平不下存在线性统计关系，所建回归预
测模型无效。
4．检验
检验即为杜宾-瓦特森（Durbin-Watson）检验，又叫序列相关检验，
序列相关是指同一变量前后期之间的相关关系。以一元线性回归预测模