1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。

判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。

2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。

求证：3a b c x y z ++≥。

4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。

5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。

求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。

6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。

9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。

10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。

11，（2009清华）的整数部分为A ，小数部分为B 。

（1） 求A 、B ；（2） 求222AB A B ++； （3） 求12lim()n n B B B →∞+++…12，（2010年清华特色考试）在蒲丰投针试验中，平行线间距为a ，针长为b ，试求针与线相交的概率与a 、b 的关系，并求什么情况下概率是1π。

【蒲丰投针： 1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线。

2) 取一根长度为l （l<d ） 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．】13，（2009清华）随机挑选一个三位数I(1)求I 含有因子5的概率。

(2)求I 中恰有两个数码相等的概率。

14，（2007清华）已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.求：（1）能听到立体声效果的概率； （2）听不到声音的概率.15，（2010北大） 向量OA 与OB 已知夹角，2OA =，1OB =，OP tOA =，(1)OQ t OB =-，0PQ t 在时取得最小值。

问当0105t <<时，夹角的取值范围。

16，（2006清华）求最小正整数n ，使得1()2n I =为纯虚数，并求出I 。

17，（2009清华）已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =++++…。

18，（2009北大）圆内接四边形ABCD 中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4，求ABCD 的外接圆的半径。

19，（2010北大）是否存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 的某种排列为等差数列？20，（2010清华特色测试）求404040sin 10sin 50sin 70++的值。

21，（2008清华）已知sin cos θθ+=θ的取值范围。

22，（2006清华）已知sin ,sin ,cos a θθ为等差数列，sin ,sin ,cos θβθ为等比数列，求1cos 2cos 22a β-的值。

23，（2007清华）已知(1,1)A --，ABC ∆是正三角形，且B 、C 在双曲线1(0)xy x =>一支上。

（１） 求证：Ｂ、Ｃ关于直线y=x 对称；（２） 求ABC ∆的周长。

24，（2009清华）已知PM PN -=(2,0),(2,0)M N -（１） 求点P 的轨迹W ；（２） 直线(2)y k x =-与W 交于点A 、B ，求AOB S ∆（O 为原点）25，（2009清华） 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，过椭圆左顶点(,0)A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P 。

求证：,AQ AR 成等比数列。

26，（2009清华）四面体ABCD 中，AB=CD,AC=BD,AD=BC.（１） 求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（２） 设底面为BCD ，另外三个面与面BCD 所形成的二面角为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=27，（2010北大）已知A 、B 为21y x =-上在第一二象限内的两个点，求过A 、B 的切线与x 轴围成面积的最小值。

28，（2007清华） 求()xe f x x=的单调区间与极值。

29，（2006清华）2y x =上有一点P （非原点），在P 处引切线交x 、y 轴于Q 、R ，求PQ PR .30，(2008北大)函数()f x 的导函数'()f x 连续，且(0)0f =，'(0)f a =。

记曲线()y f x =与(,0)P t 最近的点为(,())Q s f s ，求极限值0lim t s t→。

31，（2009清华）一元三次函数()f x 的三次项系数为3a ，'()90f x x +>的解集为(1,2)。

（１） 若'()70f x a +=有两个相等的实根，求'()f x 的解析式；（２） 若()f x 在R 上单调递减，求a 的范围。

32，（2009清华）写出所有的三个数都是质数，且公差为8的等差数列，并证明之。

33，（2006清华）求所有的由正整数组成的集合S （至少2个元素），使S 中的元素之和等于元素之积。

34，（2005清华）已知()f x 满足：,,()()(),()1a b R f ab af b bf a f x ∀∈=+≤有且，求证：()f x 恒为0.35，（2009清华）设1221,,,n a a a +…为整数，性质P 为：对1221,,,n a a a +…中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组每组n 个数，使得两组所有元素的和相等。

求证1221,,,n a a a +…全部相等当且仅当1221,,,n a a a +…具有性质P 。

36，（2009清华）求证：当,p q 都为奇数时，222y x px q =-+与x 轴交点的横坐标为无理数。

37，（2009北大）正无穷等差数列中有13、25、41，求证：2009也在该数列中。

38，（2008北大）设2()(1)21f x x k x k =++++，()g k 是k 的多项式。

（１） 设()f a 与k 无关，求常数a ；（２） 求一次多项式()g k ，使得(())f g k 与k 无关；（３） 设()g k 是二次以上多项式，证明(())f g k 必与k 有关；（４） 设αβ、为()0f x =的解，试求αβ、满足的方程，并用图形表示出来，其中α取作横坐标轴，β取作纵坐标轴；（５） 如果αβ、是整数，求出与这样的αβ、对应的所有的k 值。

39，（2007清华）（１） 求三直线160,,02x y y x y +===所围成的三角形上的整点个数； （２） 求不等式组60212x y y x y x ⎧⎪+≤⎪<⎨⎪⎪>⎩的整数解的个数。

40，（2008清华）求正整数区间[],()m n n m >中，不能被3整除的数之和。

41，（2008北大）排球单循环赛有若干南、北方球队参加，南方球队比北方球队多9支。

每场比赛胜者得1分，败者不得分。

比赛结束后南方球队的总积分是北方的9倍，求证：单循环赛结束后，必定是某支南方球队积分最高。

42，（2010清华特色测试）设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案，使得数轴上任意两个相距为不同色，要求使用颜色最少。

43，（2009年清华）有200件物品，可以用100个相同的箱子装下（每箱装2件）。

现不小心将这200件物品弄乱，于是采用如下装法：任取一件物品，装入第一个箱子；再取一件，若能装入第一箱则装入第一箱，否则装入第二箱；再取一件，若能装入第二件所在的箱子则装入，否则装入下一箱。

以此类推，直至所有物品都装箱。

问：至少需要准备多少箱子才能确保装下这200件物品？44，（2009北大）某次考试，共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不合格，6道及以上为优秀，考场中每人做对题目数不全同奇偶，问：不及格者与优秀者哪个多?45,(2009清华)64匹马，速度各不相同，每场比赛只能有8匹马参赛。

问：能否用不超过50场比赛排出所有马的速度大小顺序？若不能，给出证明；若能，给出比赛方案。

（不考虑疲劳等因素，马速恒定）46，（2010清华特色测试）长为L 的木棒(L 为整数)可以锯为长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最长者长度严格小于最短者长度的2倍。

例如长为4的木棒可以锯为2+2两段，而长为7的木棒第一次可以锯为3+4，第二次可以再将长为4的木棒锯为2+2，这时2+2+3三段不能再锯。

问：长为30的木棒最多可以锯为多少段？47，（2008清华）（１） 证明：一个四面体中至少存在一个顶点，从其出发的三条棱能够组成一个三角形。

（２） 四面体的一个顶点的三个角分别是0090,60,arctan 2，求060的面和arctan 2的面所成的二面角。

48，（2009清华）现有A 和B 两人做如下游戏：两人轮流在黑板上写下一个自然数，要求新写下的数不能表示成黑板上已有数字的非负整系数线性组合，即：若写下了12,,,n a a a …，则新写下的数不能表示成1122n n a x a x a x +++…，其中i x 是自然数。