函数及其表示考纲知识梳理一、函数与映射的概念 函数映射两集合 设A B 、是两个非空数集 设A B 、是两个非空集合 对应关系:f A B →如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应。

如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应。

名称称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射 记法()y f x =，x A ∈对应:f A B →是一个映射集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。

二、函数的其他有关概念（1）函数的定义域、值域在函数()y f x =，x A ∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素 定义域、值域和对应法则 （3）相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。

注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。

如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx 与y=cosx ，其定义域为R ，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。

因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）（4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。

（5）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。

函数及其表示测试题1、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ A ）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞解析 由已知，函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

当0<x ，3,36-==+x x故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或2、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；（4）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2；（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。

解：（1）由于f （x ）=2x =|x|，g （x ）=33x =x ，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f （x ）=x x ||的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x 的定义域为R ，所以它们不是同一函数；（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数， ∴f （x ）=1212++n n x =x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1=x ，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f （x ）=x1+x 的定义域为{x|x ≥0}，而g （x ）=x x +2的定义域为{x|x ≤－1或x ≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数注：对于两个函数y=f （x ）和y=g （x ），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f （x ）和y=g （x ）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。

3、求下列函数的值域：（1）232y x x=-+；（2）265y x x=---3）312xyx+=-；（4）41y x x=+-5）21y x x=-6）|1||4|y x x=-++；（7）22221x xyx x-+=++；（8）2211()212x xy xx-+=>-；解：（1）（配方法）2212323 323()61212y x x x=-+=-+≥，∴232y x x=-+的值域为23[,)12+∞（2）求复合函数的值域：设265x xμ=---（μ≥），则原函数可化为yμ=又∵2265(3)44 x x xμ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]μ，∴265y x x=---[0,2]（3）（法一）反函数法：312xyx+=-的反函数为213xyx+=-，其定义域为{|3}x R x∈≠，∴原函数312xyx+=-的值域为{|3}y R y∈≠（法二）分离变量法：313(2)773222x xyx x x+-+===+---，∵72x≠-，∴7332x+≠-，∴函数312xyx+=-的值域为{|3}y R y∈≠（4）换元法（代数换元法）：设10t x=-≥，则21x t=-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t=-+=--+≥，∴5y≤，∴原函数值域为(,5] -∞注：总结y ax b cx d =++变形：22y ax b cx d =++2y ax b cx d =+++（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin 2)4y πααα=+=+ ∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴2sin()[,1]42πα+∈-，2)[2]4πα+∈-，∴原函数的值域为[2]-（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴△22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥， ∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]（8）2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴1111222()21122()22x x x x -+≥-=--，当且仅当112122x x -=-时，即122x =时等号成立 ∴122y ≥，∴原函数的值域为1[2,)2+∞4、求函数的解析式（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ； （4）已知()f x 满足12()()3f x f xx +=，求()f x ；解：（1）配凑法：∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）； （2）换元法：令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg1f t t =-，2()lg (1)1f x x x =>-；（3）待定系数法：设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =， ∴()27f x x =+；（4）方程组法：12()()3f x f xx += ①把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x +=②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-∴1()2f x x x =-。

5.设a 是正数，ax+y=2(x ≥0,y ≥0)，记y+3x －21x 2的最大值是M(a)，试求：M(a)的表达式； 解 将代数式y+3x －21x 2表示为一个字母，由ax+y=2解出y 后代入消元，建立关于x 的二次函数，逐步进行分类求M(a)。

设S(x)=y+3x －21x 2,将y=2－ax 代入消去y ，得：S(x)=2－ax+3x －21x 2=－21x 2+(3－a)x+2=－21[x －(3－a)]2+21(3－a)2+2(x ≥0)∵y ≥0 ∴2－ax ≥0而a>0 ∴0≤x ≤a 2下面分三种情况求M(a)(i)当0<3－a<a 2(a>0)，即⎩⎨⎧>+-<<023302a a a 时解得 0<a<1或2<a<3时M(a)=S(3－a)= 21(3－a)2+2(ii)当3－a ≥a 2(a>0)即⎩⎨⎧≤+->02302a a a 时，解得：1≤a ≤2，这时M(a)=S(a 2)=2－a ·a 2+3·a 2－21·2)2(a=－22a +a 6(iii)当3－a ≤0；即a ≥3时 M(a)=S(0)=2 综上所述得：M （a ）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<+-≤≤+-<<+-)3(2)32(2)3(21)21(62)10(2)3(21222a a a a a aa a 。