旋转及综合专题一、旋转相关定义1、定义：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、如果图形上的点 P 经过旋转变为 P 1 ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后图形全等。

4、把一个图形绕着某一点旋转180︒ ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。

5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。

6、把一个图形绕着某一点旋转180︒ ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

二、旋转相关结论如 图 ， 将 ∆ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 α 角 到∆AB 1C 1 。

点 B 和点 B 1 为对应点，点 C 和C 1 为对 应点。

结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。

如图，线段 BB 1 的垂直平分 线l 1 、线段CC 1 的垂直平分线l 2 都经过旋转中心点 A 。

利用这个结论我们可以利用对应点坐标 求出旋转中心的坐标。

由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标。

结论 2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角α。

如图， ∆ABB 1 和 ∆ACC 1 均为等腰三角形， ∠BAB 1 = ∠CAC 1 = α。

结论 3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。

如图， ∆BAB 1 ∽ ∆CAC 1 。

结论 4：旋转前、后图形全等。

如图， ∆ABC ≅ ∆AB 1C 1 。

示例 1：已知 A (-3,2) 、O (0,0) ，将线段OA 绕点 P 旋转得到线段O 1 A 1 ，其中O 1 (-1,-1) 、A 1 (-3,-4) ，O 1 为点O 的对应点， A 1 为点 A 的对应点，求点 P 的坐标。

分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段 A A 1 和线段 O O 1 的解析 式，然后联立即可求出点 P 的坐标。

解析：∵ A (-3,2) ， A 1 (-3,-4) ∴直线 A A 1 : x = -3∴直线 A A 1 的垂直平分线l 1 : y = -1 ∵ O (0,0) ，O 1 (-1,-1) ∴直线OO 1 : y = x ∴直线OO 1 的垂直平分线l 2 : y = - x - 1点 P 为 l 1 与 l 2 的交点，联立：11y y x =-⎧⎨=-⎩，可得： P (0,-1) 。

∴点 P 的坐标为 P (0,-1) 。

附：在直角坐标系中求线段的垂直平分线的方法（必须掌握知识点） 已知点 A ( x 1 , y 1 ) 和点 B ( x 2 , y 2 ) ，求线段 A B 的垂直平分线l 。

处理方法如下：第一步：根据点 A ( x 1 , y 1 ) 和点 B ( x 2 , y 2 ) 的坐标首先求出直线 A B 的解析式：l 1 : y = k 1 x + b 1 。

第二步：设线段 AB 的垂直平分线l 的解析式为： l : y = k 2 x +b 2 。

以为 l 2⊥ l 1 ，所以 k 1 • k 2 = -1 ，从而求出k 2 = -11k ，因此线段 A B 的垂直平分线l 的解析式转化为：211y x b k =-+第三步：根据中点坐标公式直接写出线段A B 中点 M (122x x +,122y y +) 。

分析：既然直线l 为线段 A B 的垂直平分线，所以直线l 经过线段 A B 的中点，也即线段 A B 的中点在直线 l 上。

第四步：将线段A B 的中点 M (122x x +,122y y +)代入 l : 211y x b k =-+中求出 b 2 的值。

最后将b 2 的值代入211y x b k =-+中即可求出线段 A B 的垂直平分线的解析式。

示例：已知点 A (-2,4) 和点 B (2,2) ，求线段 A B 的垂直平分线l 。

处理方式如下：第一步：由点 A (-2,4) 和点 B (2,2) ，可得直线 A B 的解析式l 1: y = -12x + 3 。

第二步：设线段 A B 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k 2 x +b 2 。

以为 l 2⊥ l 1 ，所以k 1 • k 2 = -1 ，从而求出k 2 =2 ，因此线段 A B 的垂直平分线 l 的解析式转化为：l : y = 2 x +b 2 。

第三步：由点 A (-2,4) 和点 B (2,2) ，可得线段 A B 的中点M (0,3) 。

第四步：将点M(0,3) 代入l: y =2x+b2 中可得b2 = 3 。

因此，最终可得线段A B 的垂直平分线为l: y = 2x + 3 。

提醒：处理方法需要牢记，另外计算的时候要格外细心，千万不要算错了！三、点绕点旋转90︒问题此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从而求出对应点坐标。

示例：将点A(-3,4)绕点P(-1,1) 逆时针旋转90︒，求点A的对应点A1的坐标。

分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段的夹角。

因此有P A =P A1。

由于旋转角为90︒，即∠AP A1 = 90︒，因此我们可以就斜边P A =P A1，以平行于坐标轴的线段构造两个直角三角形。

很显然，这两个直角三角形时全等三角形。

然后利用直角边线段长度关系即可求出点A1的坐标。

解析：如图，过点P作直线l 平行于x轴交y轴于点B，过点A作A M ⊥l 于M，过点A1 作A1N ⊥l于N。

易证∆AMP ≅∆PNA1 （A SA），则有：A M =PN ，P M =A1N 。

∵A(-3,4)，P(-1,1)∴AM =3，P M =2，P B = 1∴N(2,1)∴A1(2,3) 。

四、旋转示例解析（理解如何利用线段旋转带动线段所在三角形旋转）在解决旋转相关题型时，最常见的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重合，从而利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，进而构造全等三角形，再利用旋转知识解决相关问题。

因此，在处理此类题型时，同学们尤其要注意题干中是否说明某某三角形为等腰三角形，尤其注意等腰直角三角形、等边三角形、正方形、顶角为特殊角的等腰三角形，遇到以上三角形时，同学可以考虑以下利用旋转来解题。

以下通过一些实例来帮助同学们理解如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。

第3页共12页例1：已知如图∆ACB ，∠ACB =90︒，A C =AB ，P A =3 ，P C =2，P B =1，求∠BPC 的度数？分析：这里明显可以判断∆ACB 为等腰直角三角形，因此可以利用将其中一腰旋转至与另一腰重合，构造全等三角形。

图（1）图（2）解析：图（1）中是将等腰直角三角形∆ACB 的一腰A C 绕点C逆时针旋转90︒与另一腰B C 重合，从而带动∆CAP 逆时针旋转90︒至∆CBH ，可得：∆CAP ≅∆CBH ，CP =CH，∠HCP = 90︒，P A =BH = 3∴∠CPH =45︒，P H =2PC =2∴PH 2 +PB2 =BH 2∴∠HPB = 90︒∴∠BPC =135︒图（2）中是将等腰直角三角形∆ACB 的一腰B C 绕点C顺时针旋转90︒与另一腰A C 重合，从而带动∆CPB 逆时针旋转90︒至∆CHA ，可得∆CPB ≅∆CHA，可得∠CHP = 45︒，再利用勾股定理证∠PHA =90︒即可。

例2：已知，如图所示，等腰R t∆ACB ，∠ACB =90︒，D为∆ACB 外一点，且满足∠ADC =45︒，A D = 3，CD =4，求B D的值？分析：这里已知等腰R t∆ACB ，可以将等腰Rt∆ACB 的一腰B C 顺时针旋转90︒与另一腰AC 重合，从而带动∆DCB 顺时针旋转90︒至∆HCA 。

解析：将∆DCB 绕点 C 顺时针旋转90︒至∆HCA 。

则有，∆DCB ≅∆HCA ，D C =HC，∠DCH = 90︒，∠HDC = 45︒，DH 2DC =2又∵∠ADC = 45︒∴∠HDA =90︒，最后利用勾股定理可以求出A H 的值，也即B D 的值。

例3：已知如图，∆ABC 为等边三角形，P A 7，P B =3，P C 2，求∠APC 的度数？分析：这里已知∆ABC 为等边三角形，符合旋转条件，可以将∆ABC 一边A C 顺时针旋转60︒与另一边A B 重合解析：将∆APC 绕点A顺时针旋转60︒至∆AHB ，则∆APC ≅∆AHB，AP =AH，∠HAP = 60︒，PC =HB 2∴∆AHP 为等边三角形∴HP =P A =7∴HB2 +HP2 =PB2∴∠BHP = 90︒∴∠APC =∠AHB =150︒。

例4：已知如图，四边形A BCD ，∠ADC =60︒，∠ABC =30︒，且A D =AC ，求证：AB2 +BC2 =BD2 。

分析：这里实际可知∆ADC 为等边三角形，满足旋转条件。

解析：将∆ADB 绕点A逆时针旋转60︒至∆ACH 。

可得∆ABH 为等边三角形，又∵∠ABC = 30︒从而可得∠CBH = 90︒，直角三角形就可以使用勾股定理了。

例5：如图，已知等边∆ABC ，点D为∆ABC 外一点，且满足∠BDC =120︒，试问，BD，DA，DC是否有确定的数量关系？分析：这里∆ABC 为等边三角形，满足旋转条件。

解析：将∆ABD 绕点A 逆时针旋转60︒至∆ACH 。

则有，∆ABD ≅∆ACH ，∠ABD =∠ACH 。

∆ADH 为等边三角形∴DA =DH∵∠BDC =120︒，∠BAC = 60︒∴∠ABD +∠ACD = 180︒∴∠ACH +∠ACD = 180︒∴D，C，H 三点共线（必须证三点共线，否则扣分）∴DA =DC +DB 。

变式拓展：如图已知等边∆ABC ，点D为∆ABC 外一点，但∠BDC 大小不确定，BD =3 ，DC = 4 ，试问D A 的最大值为多少？分析：这里∆ABC 为等边三角形，满足旋转条件。

解析：将∆ABD 绕点A 逆时针旋转60︒至∆ACH 。