第三章习题一解答一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。
1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：(1) 阅读全部三种杂志的人数。
(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。
解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。
由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。
已知|A|=25，|B|=26，|C|=26|A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8（1）由包含排斥原理可知|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|，故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有| A ∩B ∩C|=3，所以同时读三种杂志的人为3 人。
（2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故只读《每周新闻》的人数为：|)()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ⋂⋃⋂-=⋃⋂-=⋃⋂=⋂⋂ =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8；只读《时代》人数为：=⋂⋂||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：=⋂⋂||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。
2、某班25个学生，14人会打篮球，12人会打排球，6人会篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，已知6人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。
解：先求出会打球的人，25-会打球的人=不会打球的人。
|篮|=14, |排|=12, |篮∩排|=6, |篮∩网|=5, |篮∩排∩网|=2，|网|=6，又 6= |网∩(篮⋃排)| = |网∩篮|+|网∩排|-|网∩篮∩排|,故 5+ |网∩排|-2=6，故 | 网∩排|=3,由包含排斥原理可知会打球的人数为|篮∪排∪网|=|篮|+|排|+|网|-|篮∩排|-|篮∩网|-|排∩网|+|篮∩排∩网|=14+12+6- 6- 5-3+2=20，故不会打球有5 人。
3、在1 到300 的整数中（1 和300 包含在内），分别求满足以下条件的整数个数：(1) 同时能被3，5，7 整除；(2) 不能被3 和5 整除，也不能被7 整除的数；(3) 可以被3 整除，但是不能被5 和7 整除；(4) 可以被3 或5 整除，但不能被7 整除；(5) 只被3,5,7 中一个整除的数；解：用A3表示1 到300中能被3 整除的数的集合，A5表示1 到300中能被5整除的数的集合，A7表示1 到300中能被7 整除的数的集合。
则有|A3|=⎣300/3⎦=100，|A5|=⎣300/5⎦=60 ，|A7|=⎣300/7⎦=42；| A3∩A5 |=⎣300/15⎦=20，| A3∩A7|=⎣300/21⎦=⎣100/7⎦=14，| A5∩A7|=⎣300/35⎦=⎣60/7⎦=8，| A3∩A5∩A7|=2。
| A3∪A5∪A7| = |A3|+| A5|+|A7|-|A3∩A5|-|A3∩A7|-|A5∩A7|+|A3∩A5∩A7|=100+60+42-20-14-8+2 =162(1) 同时能被3，5，7 同时整除的数的个数为| A3∩A5∩A7|=2；(2) 不能被3 和5 整除，也不能被7 整除的数的个数为| A3∩A5∩A7|=300- | A3∪A5∪A7| =300-162=138；(3) 注意到|A∩B| = |A|-|A∩B|，故可被3整除但不能被5 和7 整除的数的个数为| A3∩A5∩A7| = | A3∩(A5∪A7)| = | A3 |-| (A3∩A5)∪(A3∩A7)|=| A3 |-| A3∩A5|-| A3∩A7|+| A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68;(4) 可以被3 或5 整除，但不能被7 整除的数的个数为| (A3∪A5)∩A7| =| (A3∩A7)∪(A5∩A7)| =| A3∩A7|+| A5∩A7|-| A3∩A5∩A7|=(| A3|-| A3∩A7|)+ (| A5|-| A5∩A7|)-(| A3∩A5|-| A3∩A5∩A7|)= (100-14)+(60-8)-(20-2)=120;(5) 只被3,5,7 中一个整除的数的个数分别为只被3 整除的数：| A3|-| A3∩A5|-| A3∩A7|+| A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68；只被5 整除的数：| A5|-| A5∩A3|-| A5∩A7|+| A5∩A3∩A7|=60-20-8+2=34 ；只被7 整除的数：| A7|-| A7∩A3|-| A7∩A5|+| A7∩A3∩A5|=42-14-8+2=22。
4、求1~120 之间的素数。
提示：采用筛选法求不超过120 之间的素数。
由120<121，故120<11，只要去掉2,3,5,7的倍数，则剩下来的数不可能有因数存在，即为素数。
解：令A2，A3，A5，A7分别为1~120范围内能被2，3，5，7 整除的数的集合，则1~120中去除2,3,5,7的整倍数后所剩的数的个数为| A2∩A3∩A5∩A7| = 120- | A2∪A3∪A5∪A7| 。
由于|A 2|=⎣120/2⎦=60，|A 3|=⎣120/3⎦=40，|A 5|=⎣120/5⎦=24，|A 7|=⎣120/7⎦=17；|A 2∩A 3|=⎣120/6⎦=20， |A 2∩A 5|=⎣120/10⎦=12， |A 2∩A 7|=⎣120/14⎦=60/7=8，|A 3∩A 5|=⎣120/15⎦=40/5=8 ，|A 3∩A 7|=⎣120/21⎦=40/7=5，|A 5∩A 7|=⎣120/35⎦=24/7=3；|A 2∩A 3∩A 5|=⎣120/(2*3*5) ⎦=4 ，|A 2∩A 3∩A 7|=⎣120/(2*3*7) ⎦=2 ，|A 3∩A 5∩A 7|=⎣120/(3*5*7) ⎦=1， |A 2∩A 5∩A 7|=⎣120/(2*5*7) ⎦=1；|A 2∩A 3∩A 5∩A 7|=⎣120/(2*3*5*7) ⎦=0 ；所以| A 2∪A 3∪A 5∪A 7|=60+40+24+17-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0=141-56+8=149-56=93 ， 故1~120中去除2,3,5,7的整倍数后所剩的数的个数为120-93=27。
但这不是素数的个数，因为去除倍数时还去除了2,3,5,7的一倍，这本是不该去掉的，应当补回来，而这剩下的27个数中1不是素数，应该去掉——故素数的总数应当是27+4-1=30 。
5、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000 在内）不能被4、5、6 整除的数有多少个？解：设A 4, A 5, A 6 分别表示1~10000范围内被4,5,6 整除的数的集合，则要求的数的个数为(注意分母中的是最小公倍数)：||10000||654654A A A A A A ⋃⋃-=⋂⋂=10000－[ (⎣10000/4⎦+⎣10000/5⎦+⎣10000/6⎦)－((⎣10000/20⎦+⎣10000/12⎦＋⎣10000/30⎦)]＋⎣10000/30⎦ =10000－[(2500+2000+1666)－(500+833+333)+166]=1000－4666=53346、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）既不是某个整数的平方，也是不是某个整数的立方的数有多少？解：设A={x 2 | 1≤ x 2≤10000}，B={x 3 | 1≤ x 3≤10000}，则要求的数的个数为988311710000 )421100(10000 ])10000[]10000[]10000([10000 |)||||(|1000 ||10000||63=-=-+-=-+-=⋂-+-=⋃-=⋂B A B A B A B A .7、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）有多少个整数包含了1，2，3 和4。
解：设A 1, A 2, A 3, A 4 分别表示1~10000范围内含1,2,3,4的数的集合。
（1）如果将题意理解为要求整数只含有1,2,3,4之一时，则要求的数的个数为||10000||43214321A A A A A A A A ⋂⋂⋂-=⋃⋃⋃。
而 ||4321A A A A ⋂⋂⋂为1~10000内不含1,2,3,4的数的个数，这相当于用六个数字0,5,6,7,8,9去填四个空格的方案数。
用排列组合中的乘法法则知，共有12966666=⨯⨯⨯种不同填法，但其中一种填法0000不合要求，故符合要求的填法有1296-1=1295种。
故题目的解为 10000－1295=8705.（２）如果将题意理解为要求整数同时含有1,2,3,4时，显然1 10000范围内只有四位数同时含有1,2,3,4，且1,2,3,4每个数只可能出现一次，即这样的四位数只能是1,2,3,4的排列。
所以，共有4!=24个。