＜a,b＞∈R1○R1∧＜b, c＞∈R1○R1
（e1）（＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧（e2）（＜b, e2＞∈R1∧＜e2, c＞∈R1）
＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1（∵R1传递）
＜a,c＞∈R12
即R12是传递的。
故R12是A上的等价关系。
d）如b）所设，R1和R2是A上的等价关系，但
b）设 A={a,b,c}
R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}
R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}
R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}
所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。
证明：(1)对任意非零实数a，有a2>0(a+bi)R(a+bi)
故R在C*上是自反的。
(2) 对任意(a+bi)R(c+di)ac>0,
因ca=ac>0(c+di)R(a+bi),
所以R在C*上是对称的。
(3)设(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，则有ac>0cu>0
若c>0，则a>0u>0au>0
证明 ：设A上定义的二元关系R为：
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R =
1对任意＜x,y＞∈A，因为 = ，所以
＜＜x,y＞, ＜x,y＞＞∈R
即R是自反的。
2设＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R = = ＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R
即R是对称的。
3设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对
因此，RkRj，于是I/Rk细分I/Rj
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