南京理工大学2001
一、 计算下列数值（每题7分，共21分）
1．n 0a b <<
2．22x x e dx +∞--∞
⎰，已知12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭ 3．()()333335()S x
y dydz y x z dzdx z x dxdy +++++⎰⎰，其中S 为球面
222x y z a
++= 的外侧 二、（10分）设()1,2,n n a b n <=，证明：lim lim n n n n a b →∞→∞
≤
三、（10分）证明：2sin lim cos cos cos 222n n t t t t t →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭ 四、（10分）讨论幂级数()0
1n n x x ∞=-∑在闭区间()[0,]1a a <及[0,1]上的一致收敛性
五、（12分）设()f x 为[)0,∞上非负递减函数，且积分0()f x dx ∞
⎰收敛，证明：()lim 0n xf x →∞
= 六、(10分)设()f x 是闭区间[,]
a b 上的连续函数，证明：
()(),max n x a b f x ∈= 七、（10分）设()g x 为(0,)+∞上连续可导函数，向量值函数()(0)F g r r r →=≠
其中(),,,,r r x y z ==
证明：第二型曲线积分
0L F d s →⋅=⎰这里L 为3R 中任一不经过原点的光滑闭曲线
八、（8分）设函数()f x 在[,]a b 上一阶连续可导，且()0f a =，证明：0M ∃>，使得()()()()22b b a a f x dx M f x dx '≤⎰
⎰ 九、（7分）设()f x 是[0,2]π上的连续函数，证明：
()()22002lim sin n f x nx dx f x dx ππ
π→∞=⎰⎰。