试卷一计算题
1、设平面通过点（5，-7,4）且在x,y,z 三个轴上截距相等，求平面方程。

设平面方程为a x +a y +a
z =1
因为平面过（5，-7,4） a 5-a 7+a
4=1 a=2
∴所求平面方程为x+y+z=2
2、求曲线z=2
2y x +在点p （4,2）处的偏导数z y （0,0）
y
y y y y x y y x y y x y =+=+=+=+=)20(2
1)2222(212)(22122(2222)2 2y(0,0)=y(0,0)=0 3、设z=ln ()
1
)(2
+++
+y x y x ,求z x 和z y
2)(11
y x x
z
++=∂∂ , 2
)(11
y x y
z
++=∂∂
4、求f(x)=e x
cosx 的麦克劳林展开式（至含x 4
的项）
....6311...)4
21....)(4321(cos 4
4,
4,2,4,3,2+--+=++-++++
+=x x x x x x x x x x x 5、求表面积为36，而体积为最大的长方形的体积。

长方体长、宽、高分别为x,y,z. 则2xy+2
2x +22y =36
且长方体体积v(x,y,z)=
2xy 令F=)18(2-+++yz xz xy xy λ
由 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=++=++==++==++=180)(0)(0
)(2
2yz xz xy y x xy Fz z x x Fy z y y Fx λλλ 得6===z y x
由实际问题知 当
6===z y x 时，长方体体积最大为63
6m
6、求微分方程y ”-6y ’+8y=0的通解
086=+'-'y y y 令k y ='
0862=+-k k （k-2）(k-4)=0
⎩⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧=-=-4
2040
221k k k k
x x e c ce x k e c kx e c y 422221---=-+-=∴
试卷二计算题
1、试求空间直线⎩⎨
⎧-=+=7
652z y z x 的对称式方程
由x=z z+5 得z x =-25 由y=6z-7 得z y =+67
所以直线对称方程为：z y x =+=-6
7
25 2
、
设
,
sin ),(,cos ),(y e y x y e y x x x ==ψφ试
证
：
)2,2(),(),(22y x y x y x φψφ=-
)
2,2(cos )sin (cos )sin ()cos (),(),(222222222y x y x e y y e y e y e y x y x x x x ρρρ==-=-=-3、设
,sin y xe z y =求dz
y
ey x
x y ey x y xey zx sin 22sin 2)sin (2===
2=xeysiny
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+=+===
)cos sin .(.2)
(sin 2sin 2)(22)sin (22)sin (2y ey y ey x ey y y y y ey x y y ey x y y xey zy dy y xey y xey dx y ey dy y
z
dx x z dz )cos sin ()sin (++=∂∂+∂∂=
4、求函数222sin sin 2sin y y x xy y x z ++=的全微分
)cos (sin sin 2sin 22y x x y y y x x
z
++=∂∂ y y y y x x y x y
z 20cos (sin sin 2sin 2+++=∂∂
[][]
dy y y y y x x y x y y y y x x y zx dz 2)cos (sin sin 2sin 2)cos (sin sin 2sin 222+++++++=
5、设
,122y x z ++=
求)1,1(y z
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅++=++++=++=∂∂y y y x y
y x y y x y x xy y x y z 2)(22)(22)1(2121
21.1211222222222222
22
22
2112222200(121
y x y y x y
y y y
y x ++=++⋅=++++=
3
11111
11
2)1,1(22
2=
++=
⎩⎨⎧===∴y x y y
6、求一连续可微函数，它在x ＜2
π
时满足微分方程y ”+y ’=x ，在
x ＞2
π
时满足y ”+4y ’=0，
且当x=0时y,y 之值均为0. 当x ＜2
π时，
x x c x c y ++=sin cos 21
由y(0)=y(0)=0 得01
=c 12-=c 从而x x y +-=sin 1
当
x ＞
2
π
时，x B x A y 222sin cos += ∴函数在2
π
=x 有连续导数
从而
122212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππy y 12221112-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππy y 2
1π
-
=∴A 21-
=B
故 x x y 222sin 21cos 21-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=π
⎪⎩
⎪
⎨⎧
---∴x
x x x y 22sin 21
cos )21(sin π x ≤2π x ＞2π。