积分上限的函数的性质及其应用数学教育专业学生：祝胜前指导教师：张云摘要：变限积分函数分为变上限和变下限积分函数两种，变下限积分函数可以转化为变上限积分函数。

积分上限函数加强了微分和积分之间的联系，是定积分基本公式的理论基础。

变限积分函数的性质主要由被积分函数的性质、积分上（下）限的结构来决定。

我们对它进行初等性质及分析性质的研究，可深入了解其特性，并广泛用于解决一些微积分的问题。

关键词：积分上限函数，变限积分函数，导数，单调性，奇偶性Abstract: The variation range integral function divides into changes the upper limit and changes the lower integral function two kinds, changes the lower integral function to be possible to transform for changes the upper integral function. The integral upper limit function strengthened between the differential and the integral relation, is the definite integral fundamental formula rationale.The variation range integral function nature mainly by the structure which by in the integral function nature, the integral (next) is limited decided. We carry on the primary nature and the Analysis nature archery target research to it, but thoroughly understood its characteristic, and widely uses in solving some fluxionary calculus problems.Keyword: Integral upper limit function, variation range integral function, derivative, monotony, odevity0 问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系：设某物体作直线运动，已知速度()v v t 是时间间隔12[,]T T 上t 的一个连续函数，且()0v t ≥，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为21()T T v t dt ⎰。

另一方面这段路程可表示为 21()()s T s T -。

2121()()()T Tv t dt s T s T ∴=-⎰，()()s t v t '=其中。

对于积分上限函数我们有：设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,并且设x 为[,]a b 上的一点,考察定积分()xaf x dx ⎰。

（1）由于()f x 在[,]a b 上连续,则()f x 在部分区间[,]a x 上仍连续,所以 ()xaf x dx ⎰存在。

（2）定积分与积分变量的符号无关,所以上积分可写为()xaf t dt ⎰。

（3）如果上限x 在区间[,]a b 上任意变动,则对于每一个取定的x 值,定积分有一个对应值,所以它在[,]a b 上定义了一个函数,记作()x Φ。

()x Φ=()xaf t dt ⎰（a x b ≤≤），称为积分上限函数。

1 变限积分函数的概念与基本性质定义1 设()f x 在[,]a b 上连续，x 为[,]a b 上任一点，则称积函数()f x 的积分上限函数定义为()x Φ=()xaf t dt ⎰，（a x b ≤≤），其中t 为积分变量。

从几何上看，这个积分上限函数()x Φ表示区间[,]a x 上曲边梯形的面积(()0f x ≥当时）。

由积分上限函数定义可知上限函数()x Φ有以下初等性质：性质1.1 若函数()f x 在[,]a b 上连续，则当()0f x ≥（或()0f x ≤）时，积分上限函数()x Φ在区间[,]a b 上是单调增加（或单调减少）的函数。

证：'()x Φ= (())'xa f t dt ⎰=()f x ，于是知若在[,]ab 上()0f x >，则'()0x Φ>。

从而()x Φ在[,]a b 上严格单调递增；若在[,]a b 上()0f x <，则'()0x Φ<。

即()x Φ在[,]a b 上严格单调递减。

故知此时()x Φ在[,]a b 上严格单调。

（注：由()f x 在[,]a b 上单调，不能推得()x Φ在[,]a b 上单调。

如()cos f x x = 在[0,]π上单调递减，但0()cos sin xx tdt x Φ==⎰在[0,]π上却不具有单调性。

性质1.2 若函数()f x 在[,]a b 上连续，则积分上限函数()x Φ在区间[,]a b 上是有界函数。

证：因为()f x 在[,]a b 上有界，于是知存在0M >，使得|()|f x M ≤，因此[,]x a b ∀∈，有|()||()|||()xxaax f t dt M dt M b a Φ=≤<-⎰⎰这表明()x Φ在[,]a b 上有界。

性质1.3 若函数()f x 在[,]a b 上连续，则积分上限函数()x Φ在区间[,]a b 上可导、连续且可积。

可导性：如果()f x 在区间[,]a b 上连续,则积分上限函数()x Φ=()xaf t dt ⎰在[,]a b 上具有导数,并且它的导数是'()()()xa d x f t dt f x dxΦ==⎰（a x b ≤≤）。

证：若(,)x a b ∈,当上限x 获得增量x ∆([,])x x a b +∆∈时,则()x Φ(如图所示0x ∆>)在x x +∆处的函数值为： ()()x xa x x f t dt +∆Φ+∆=⎰由此得函数的增量：()()()()()()()x Xxa ax Xax xaxxx x x f t dt f t dtf t dt f t dt f t dt+∆+∆+∆∆Φ=∆Φ+∆-Φ=-=+=⎰⎰⎰⎰⎰应用积分中值定理,即有等式()x Φ=()f x ξ∆(ξ在x 与x x +∆之间)，上式两端各除以x ∆,有()f xξ∆Φ=∆。

因为()f x 在[,]a b 上连续,而0x ∆→时,必有x ξ→,所以 0lim ()()x f f x ξ∆→=,从而有 00lim lim ()()x x f f x x ξ∆→∆→∆Φ==∆。

即()x Φ在点x 处可导,且 '()()x f x Φ=。

若x 取 a 或 b,则以上 0x ∆→分别改为 0x ∆→+与 0x ∆→-,就得'()()a f a +Φ=与 '()()b f b -Φ=,证毕。

连续性：设函数()f x 在[,]a b 上可积，则()x Φ在[,]a b 上连续。

证：因为()f x 在[,]a b 上可积，所以()f x 在[,]a b 上有界，故存在常数0M > 使得|()|f x M ≤，于是知x ∀∈[,]a b ，有：|()||()()||()|||x xxx x x x f t dt M x +∆Φ=Φ+∆-Φ=≤∆⎰。

从而当0x ∆→时，必有()0x ∆Φ→，这表明()x Φ在点x 处连续。

据x 的任意性便知()x Φ为[,]a b 上的连续函数。

可积性：设()f x 在[,]a b 上可积，则()x Φ也在[,]a b 上可积。

证：因为()f x 在[,]a b 上可积，所以又连续性知()x Φ必在[,]a b 上连续，从而()x Φ在[,]a b 上必可积。

性质1.4 若函数()f x 是以T 为周期的连续函数，则积分上限函数()x Φ可以表示为周期是T 的周期函数与线性函数之和。

周期性：设()f x 为(,)-∞+∞上的以T 为周期的连续函数，且0()0Tf x dx =⎰，则()x Φ仍为以T 为周期的周期函数。

证: 先证明若()f x 为(,)-∞+∞上的以T 为周期的连续函数，则对仍何实数a ，有()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰。

事实上，0()()()()a T T a TaaaT f x dx f x dx f x dx f x dx ++=++⎰⎰⎰⎰，对最后一个积分。

若令x t T =+，则有0()()()()a T aaTaf x dx f t T dt f t dt f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰。

代入上式得：()()a TTaf x dx f x dx -=⎰⎰。

现在0()()()()()()()x T xx TTaaxx T f t dt f t dt f t dt x f x dx x ++Φ+==+=Φ+=Φ⎰⎰⎰⎰。

于是知()x Φ仍为以T 为周期的周期函数。

（注意：由()f x 为周期函数，不能推得()x Φ仍为周期函数。

如2()cos f x x =是以π为周期的周期函数，而2001cos 211()cos sin 224xxt x t dt x x +Φ===+⎰⎰就不是周期函数。

性质1.5 若函数()f x 在[,]a a -上连续，则积分上限函数()()x ax f t dt -Φ=⎰。

（i ）当()f x 为奇函数时，()x Φ为偶函数；（ii ）当()f x 为偶函数时，()x Φ不一定为奇函数 ，()x Φ为奇函数的充要条件是()0a Φ=。

证:（i ）若()f x 为奇函数，则()0x xf t dt -=⎰。

所以()()xax f t dt --Φ-==⎰()()()()xx xaxaf t dt f t dt f t dt x ----+==Φ⎰⎰⎰故知()x Φ为偶函数。

（ii ） 若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=。

而()()aaxxf t dt f u du --=--=⎰⎰()()()x xaaf u du f t dt x ----==Φ-⎰⎰，所以()()()()()()a xa aaxa f t dt f t dt f t dt x x --Φ==+=Φ+Φ-⎰⎰⎰。

于是()x Φ为奇函数的充要条件是()0a Φ=。