凸函数性质及其应用摘 要 本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词 凸函数的积分性质;凸函数的不等式Abstract In this article ，first we list several kind of definitions for convex functions ，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1 凸函数的定义及其相互关系 定义1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“≤”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,x x I ∀∈有1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当：1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......().n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭定义 4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下,则成()f x 为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线()f x 为严格凸的.引理1 定义2与定义3等价.引理2 若()f x 连续,则定义1，2，3等价.2 凸函数的性质定理 1 设()f x 在区间I 上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意,123,,,x x x I ∈123x x x << 保持成立）：（i ）()f x 在I 上为凸函数 （1）（ii ）2121()()f x f x x x --≤3131()()f x f x x x -- （2）(iii)31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- （3）(iv)2121()()f x f x x x --≤3232()()f x f x x x -- （4）推论1若()f x 在区间I 上为凸函数，则I 上任意三点123x x x <<，有2121()()f x f x x x -≤-3131()()f x f x x x -≤-3232()()f x f x x x --.推论2 若()f x 在区间I 上的凸函数，则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x = 00()()f x f x x x --是x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.推论3 若()f x 是区间I 上的凸函数，则I 上任意四点s<t<u<v 有()()f t f s t s --()()f v f u v u-≤-. 推论4 若()f x 是区间I 上的凸函数，则对I 上的任一内点x,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在，皆为增函数，且()()f x f x -+''≤ 0()x I ∀∈这里0I 表示I 的全体内点组成之集合.（若f 为严格凸的，则'f +与'f -为严格递增的）.证明 因x 为内点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论2）,1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--.再由推论2所述,当1x 递增时,11()()f x f x x x --也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且'f -(x)= 101212()()()()limx x f x f x f x f x x x x x-→--≤--.同理,在此式中，令2x x→时,可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'f -皆为增函数.推论5 若()f x 在区间I 上为凸的，则f 在任一内点x ∈0I 上连续. 事实上由推论4知f +'与f -'存在，所以f 在x 处左右都连续.定理2 设函数()f x 在区间I 上有定义，则()f x 为凸函数的充要条件是：00,x I ∈α∃，使得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.证明（必要性）因()f x 为凸函数，由上面的推论4知， 0'00,()x I f x -∀∈存在且'000()()()f x f x f x x x --→-. 由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+.因''00()f x f x -+≤(),所以对任一α:''00()(),f x f x x Iα-+≤≤∀∈恒有()f x 00()()x x f x α≥-+.(充分性)设123x x x <<是区间I上的任意三点，由已知条件222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =，可以得到32123212()()()()f x f x f x f x x x x x α--≥≥--,由定理1可知()f x 为凸的.定理3 设()f x 在区间I 上有导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增. 证明 （充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-，则1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-,或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ (1)由于()()(1)()f x f x f x λλ=+- (1)式等价于12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ (2)应用Largrange 定理，12,:,x x εηεη∃<<<使得''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--，但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--,212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.故（2）式左端=12[()()](1)[()()]f x f x f x f x λλ-+--''221()(1)()(1)()()f x x f x x λελληλ=--+--21(1)()[()()]x x f f λλεη''=---按已知条件()()f x I '∈x 递增，得知()()f f εη''≤,从而上式≤0,(2)式获证.（必要性）由定理1的推论4,()f x +'在0I 内为递增的，因()f x '存在，故()()f x f x +''=亦在0I 内为递增的，若I 有右端点b,按照已知条件f 在b 点有左导数，0x I ∀∈易知: ''''()()()()()()f x f b f x f x f b f b x b+--=≤≤=-同理，若I 有左端点a,则()(),f a f x ''≤即()f x '在I 上为递增的.推论 若()f x 在区间I 上有二阶导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是：()0f x ''≥ 定理4 （Jensen 不等式）若()f x 为[a,b]上的凸函数，则[,]i x a b ∀∈ ,0(1,2,...,),i i n λ>=11,nii λ==∑，有11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.证明 应用数学归纳法.当n=2时，由定义1命题显然成立.设n=k 时命题成立,即对任何 12,,...,[,]k x x x a b ∈与10,1,2,...,,1ni ii i k αα=>==∑都有11()()k ki i i i i i f x f x αα==≤∑∑现设121,,...,,[,]k k x x x x a b +∈及0i λ>（i=1,2,…k+1）,111k ii λ+==∑.令1,1ii k λαλ+=-i=1,2,…,k,则11ki i α==∑.由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1ki ik i i i k k k i k xf x f x λλλλλ+=+++=+=-+-∑∑1111(1)()kk i i k k i x f x λαλ+++=≤-+∑1111(1)()()kk i i k k i f x f x λαλ+++=≤-+∑=11111(1)()()1kik i k k i k f x f x λλλλ+++=+-+-∑=11()k iii f x λ+=∑即对任何正整数n(n 2)≥,上述不等式成立.推论 设()f x 在区间I 上是凸函数,则对于任意的12,,...,m x x x I ∈和120m βββ>，，...,都有1122111212...()...()()......m m m m m mx x x f x f x f βββββββββββ+++++≤++++++.3 凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和Lipschitz 性质.例1 设函数()f x 在区间I 上为凸函数，试证：()f x 在I 上的任一闭子区间上有界. 证明 设[,]a b I ⊂为任一闭子区间:①（证明()f x 在[,]a b 上有上界）[,],x a b ∀∈取[0,1],x ab aλ-=∈-(1)x b a λλ=+-. 因()f x 为凸函数,所以()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=其中max{(),()}M f a f b =. 故在[,]a b 上有上界M ；②（证明()f x 在[,]a b 上有下界）记2a bc +=为,a b 的中点，则[,]x a b ∀∈，有关于c 的对称点x '，因()f x 为凸函数，所以()()11()()222f x f x f c f x M '+≤≤+ ,从而 ()2()f x f c M m ≥-≡ ， 即m 为()f x 在[,]a b 上的下界.例2 设()f x 为区间(a,b)内的凸函数，试证：()f x 在I 上的任一内闭区间[,][,]a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件.证明 要证明()f x 在区间[,]αβ上满足Lipschitz 条件，即要证明：0,L ∃>使得12,[,]x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤- (1)因为[,][,]a b αβ⊂，故可取h>0充分小，使得[,](,)h h a b αβ-+⊂与此12,[,],x x αβ∀∈若12,x x <取32x x h =+.由凸性，32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤--（其中M,m 分别表示()f x 在[,]h h αβ-+上的上下界）,从而2121()()M mf x f x x x h--≤- (2) 若21,x x < 可取32,x x h =-由()f x 的凸性，有()23122312()()()f x f x f x f x x x x x --≤--， 从而 ()21322132()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 由此可得(2)式成立. 若12x x =，则（2）式明显成立.这就证明了（2）式对一切12,[,]x x αβ∈皆成立.因此（2）式当1x 与2x 互换位置也成立，故有2121()()M m f x f x x x h --≤-，令,M mL h-=则（1）式也获证. 例3 设()f x 为区间(,)a b 内的凸函数,并且有界,试证极限 lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在. 证明 设x ∈（a,b ）时10x ≤>>f(x)M,x x 为(,)a b 内任意三点，根据()f x 的凸性,当x 递增时00()()f x f x x x --也递增.又因为0010010()()()()f x f x M f x x x x x x x x --≤∀>>--, 根据单调有界原理,有极限 00()()limx b f x f x A x x →--=- ,从而 000000()()lim ()lim ()()()()x b x b f x f x f x x x f x A b x f x x x --→→⎡⎤-=-+=-+⎢⎥-⎣⎦亦存在.3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下:例4 设()f x 为区间[,]a b 上连续的凸函数.试证:1212,[,],x x a b x x ∀∈<，有21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≤≤-⎰. 证明 令 121(),(0,1),t x x x λλ=+-∈则2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰, (1) 同理，令221()t x x x λ=--，亦有2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰ 从而21112122102111(){[()][()]}2x x f t dt f x x x f x x x d x x λλλ=+-+---⎰⎰, (2) 注意121()x x x λ+-与221()x x x λ--关于中点122x x +对称.由于()f x 是凸函数,故由（2）式得2112211()()2x x x x f t dt f x x +≥-⎰ . 另外,由（1）式,应用()f x 的凸性211210211()[(1))]x x f t dt f x x d x x λλλ=+--⎰⎰ 1210()(1)()]f x f x d λλλ≤+-⎰1122122100()()(1)()()222f x f x f x f x λλ⎡⎤⎡⎤+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.例 5 设()f x 是[0,)+∞上的凸函数,求证：01()()xF x f t dt x =⎰ （1）为(0,)+∞上的凸函数.证明 ()f x 为[0,)+∞上的凸函数,因此它在(0,)+∞内连续,()f x 在[0,]x 上有界.由此知积分(1)有意义. 0x ∀>,令 t u x=时 101()()()xx t tF x f t dt f x d f xu du x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ （2） 12(0,1),,0x x λ∀∈∀>恒有112120[(1)]{[(1)]}F x x f x x u du λλλλ+-=+-⎰ [因(2)]=1120[(1)]f x u x u du λλ+-⎰112[()(1)()]f x u f x u du λλ≤+-⎰ （因f 的凸性）12()(1)()F x F x λλ=+-所以F 是(0,)+∞上的凸函数.例6 设函数()g x 在[,]a b 上递增,试证 (,),c a b ∀∈函数()()xc f x g x =⎰为凸函数.证明 因()g x 递增,积分有意义.且∀123x x x <<212122121()()1()()x x f x f x g x dx g x x x x x -=≤--⎰ 32323232()()1()x x f x f x g x dx x x x x -≤=--⎰故由定理1知()f x 为凸函数.例7 设()f x 为[,]a b 上的凸函数,证明 ,(,)c x a b ∀∈有''()()()()xxccf x f c f t dt f t dt -+-==⎰⎰ （1）证明 因()f x 为凸函数, 由定理1推论4 '()f t -，'()f t +存在且递增（当(,)t a b ∈）.故(1)中的积分有意义.对[c,x]任作一分划012...,n c x x x x x =<<<<=有11()()[()()].ni i i f x f c f x f x -=-=-∑ 参看定理2，我们有'111()()()(),i i i i i f x f x f x x x -----≥-'11()()()()i i i i i f x f x f x x x ----≤-于是由.(1)式知'111()()()()ni i i i fx x x f x f c ---=-≤-∑'11()()ni i i i fx x x --=≤-∑.将分划无限分细,令1max()0,i i x x λ-=-→取极限可知 '()()().xc f x dx f x f c -=-⎰ 同理有 '()()().xcf x dx f x f c +=-⎰3.3利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由定理4证明了Holder 不等式，并且利用Jensen 不等式证明了几个复杂的不等式.例8 设352x ≤≤ 证明 <证明 由于函数y =在区间[0,)+∞上是凸函数，由凸函数的性质，即定理 4 有=≤=由于1,23,153x x x +--不可能同时相等，从而有<≤例 9 设函数()f x 是区间[0,)+∞上的凸函数，对于12,,...(0,),n x x x ∀∈+∞则1212()()...()(1)(0)+(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-+++证 明 由于120...i i n n x x x x x x <<+<+++,则由定理1中（4）式，有1212()(0)()()(...)()0...i i n i n n i i n i n nf x f f x x f x f x x x f x x x x x x x x x -+-+++-<<-+-+++-即12121()(0)[(...)()] (i)i n n n x f x f f x x x f x x x x --<++-+++令1,21i n =-,对上式两边求和，有1121[()(0)](...)()n i n n i f x f f x x x f x -=-<++-∑即1212()()...()(1)(0)(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-++++例 10 设111,1,1αβαβ>>+=及0,0(1,2,...,)i i a b i n >>=则有Holder 不等式成立：11111()()n nni i i ii i i a b a b αββα===≤∑∑∑ 当且仅当i a α与i b β成正比例时等号成立. 证明 取()f x =(1,0)x x αα><<+∞，(1,0)x x αα><<+∞，因为2()(1)0f x x ααα-''=->，所以()f x x α=在(0,)+∞上为凸函数,由定理4得:112211221212......()......n n n n n nt x t x t x t x t x t x t t t t t t αααα+++++≤++++++ 即1111()()()nn ni i i i i i i i t x t x t ααα-===≤∑∑∑ ， 亦即11111()()nnni ii i i i i i t xt x t αααα-===≤∑∑∑令,1αβα=-则有11111ααβαα-+=+=，于是有11111()()n n ni i i i i i i i t x t x t αβα===≤∑∑∑ 令111111()(),nnni ii iiii i i i i i i t x t x t tb x t a αββαα-===≤==∑∑∑，则有11111()()nnni i i i i i i a b a b αββα===≤∑∑∑当i a α与i b β成正比例时，即i i a kb αβ= (k 为正常数，1,21,i n n =-)111111111111()()()nnnnni i i i i i i i i i i i i a b k b k b a b a b ββαββββαβαααα+-==========∑∑∑∑∑∑当i a α与i b β不成正比例时，i t 不全相等，又因为()f x x α=在(0,)+∞为严格凸函数，故严格不等式成立.例11 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅和 12,,,n q q q ⋅⋅⋅是两组正数，11niq=∑.证明1111n q q n n n a q a q a ⋅⋅⋅≤+⋅⋅⋅+a .证明 要证原不等式即要证明 1111ln ...ln ln(...)n n n n q a q a q a q a +≤++. 令()ln f x x =(0)x >,则由于21()0f x x''=-<，所以f 为凹函数，由Jensen 不等式 111122(...)()()...()n n n n f q a q a q f a q f a q f a ++≥++ 即得所证.例12 12...0(1,2,...),1,,n i n a a a a i p A n +++>=>=设证明：1111mm pp n n n n n p A A a p -==<-∑∑. 证明 设00A =，则由于1111111[(1)]11mm mm pp pp nn n n n n n n n n n p p A A a A A nA n A p p ---====-=-----∑∑∑∑ 11111(1)11mm m ppp nn n n n n n p p A nA n A A p p --====-+---∑∑∑ (1)111111(1)(1)11p mmp ppn n n n n pn p A n A n A p p --==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ （用Holder 不等式）11(1)11111111(1)(1)11p ppp ppp m m m p ppn n n n n n pn p A n A n A p p ----===⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎪⎪≤-+--⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑∑ 1111111(1)(1)11mm m pp p nn n n n n pn p p A n A n A p p p p -===⎛⎫⎧⎫-≤-+-+-⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎩⎭∑∑∑ 1111(11)11mm ppnk n k pn A n kA p p -===-+-+--∑∑111(11)11mmpp nk n k pn A n kA p p ==≤-+-+--∑∑ 1(11)011mp n n pn nA n p p ==-+-+=--∑ 所以 1111mm pp nn n n n p A A a p -==<-∑∑ 由于Holder 不等式中等号成立的条件是1(1,2,...,)n nA n m A -=均为常数,而00A =，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立.例 13 证明不等式3a b ca b c a b c ++≤（abc ），其中,,a b c 均为正数.证 明 设()ln ,0f x x x x =>,由1()ln 1,()f x x f x x'''=+=可见()ln f x x x =在0x >时为严格凸函数.由Jensen 不等式有1()[()()()]33a b c f f a f b f c ++≤++, 从而1ln (ln ln ln )333a b c a b c a a b b c c ++++≤++.即3a b ca b c a b c a b c ++++≤（）又因3a b c++≤, 所以3a b ca b c a b c ++≤（abc ） . 例14应用Jensen 不等式证明：设0(1,2,....)i i n >=a ，有1212111n n a a a a a a n n++≤≤++⋅⋅⋅+ 证明 取函数()ln f x x =,(0,)x ∈+∞ . 因为21()0,f x x ''=-<f 是区间(0,)+∞上严格凹函数，则对12,,...(0,)n a a a ∀∈+∞及1(1,2,...),i i n n N nλ+==∈ 1. 12...n a a a ===，则上式等号成立 ;2.若1,2,...,n a a a 不全相等，则由Jensen 不等式11()()n ni iiii i f a f a λλ==≥∑∑ ①即12121211ln(...)[ln ln ...ln ]ln(...)n n n a a a a a a a a a n n n n n+++≥+++= 1111n ni i i i i i f f a a λλ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ②即121212*********ln(...)(ln ln ...ln )ln ...n n nna na na n a a a n a a a +++≥+++= 12111111ln(...)ln ln ...n n n a a a a a a n⇒++-≥- 因为f 在(0,)+∞上单调递增,综合①②结论得1212111...nn a a a a a a n n ++≤≤++，命题成立.参考文献[1]裘兆泰等.《数学分析学习指导》,科学出版社,2004年.[2]徐利治等.《大学数学解题法诠释》第一版,安徽教育出版社，1999年. 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