第五讲 传统时间序列分析
一、趋势模型与分析
1、趋势模型
确定型时间序列分析是根据时间序列自身发展变化的基本规律和特点即趋势，选取适当的趋势模型进行分析和预测。
趋势模型的一般形式是：ˆ()t y
f t = 式中，t 是时间变量，一般取值为,0,1,2, 或2,1,0,1,2,-- 。
趋势模型的具体形式多种多样，例如经济领域不少现象近似指数增长ˆt y
= 0(1)t y r +，0y 其中为增长初期水平，r 为增长率。
常用的其他趋势模型还有：
（1）直线模型ˆt y
a bt =+ （2）指数模型ˆt t y
ab = （3）幂函数模型ˆb t y
at =或ˆbt t y ae = （4）对数模型ˆln()t y
a b t =+ （5）多项式模型01ˆk t k y b bt b t =+++
（6）修正指数曲线ˆt t y
L ab =+或ˆbt t y L ae =+ （7）双曲线模型ˆt y
L b =+ （8）Compertz 曲线ˆt
b t y
La = （9）Logistic 曲线ˆ(1)bt t y
L ae =+ 2、模型的选择
趋势模型形式的选择是定性分析和定量分析相结合的过程。
定性分析要求：在选取模型之前，要弄清的条件和预测对象的性质、特点。
例如，指数曲线模型成立的条件是后一期与前一期之比为常数，即发展速度为常
数。
实际现象的逐期增长率不可能严格等于某一常数，但常会围绕某一常数上下波动。
如果分析对象具备上述特点，可以考虑采用指数模型。
有些模型是从其他领域特别是生物学领域移植过来的。
比如Logistic曲线最初用于研究生物种群发展规律，假定物种的增长取决于两个因素：种群的现有规模和环境（生存空间、光照、水和食物等），其中环境是限制性因素，在有限的环境中物种不可能无限增长，而是存在增长极限L。
如果用Logistic曲线分析某种现象，必须首先确认：该现象是否发展到一定规模后增长速度会逐步下降，该现象是否存在增长的极限等。
除定性分析外，根据资料把握现象的特点也是选择模型的重要环节。
定量分析需要用到多种初等分析方法。
常用的方法是绘制曲线图，直观的判断现象大体符合哪种模型。
有时数据中不仅包含趋势，还存在周期波动和较强的随机变动，造成趋势识别的困难，需要对数据进行预处理，方法主要包括数据的平滑和周期调整（如季节调整），后面知识将分别来介绍。
3、模型的估计与预测
趋势模型的估计与预测与线性回归模型的方法相似。
二、季节模型与分析
1、季节模型的类型
季节模型反映具有季节变动规律的时间序列模型。
季节变动是指以一年为一个周期的变化。
引起季节变动的首要因素四季更迭。
传统的时间序列分析把时间序列的波动归结为四大因素：趋势变动（T）、季节变动（S）、循环变动（C）和不规则变动（I）。
其中循环变动指周期为年数的变动，通常指经济周期。
不规则变动即随机变动。
四种变动与原序列（Y）的
关系被概括为两种模型：
乘法模型：Y=TSCI
加法模型：Y=T+S+C+I
其中，乘法模型适于T，S，C相关的情形；加法模型适于T，S，C相互独立的情形。
2、季节因子与季节调整
季节因子反映序列随时间变化过程中，受季节因素影响的程度，即模型中S 部分。
其表现形式因模型类型不同而异。
如果从乘法模型出发，季节因子以季节指数形式出现，是一串在100%上下波动的相对数；如果从加法模型出发，季节因子以季节变差形式出现，是一串在0左右分布的绝对数。
一般地，时间序列中有季节波动常会妨碍对问题的认识，一般要进行季节调整。
比如，是6月份还是2月份的啤酒销售好？如果仅从实际销量分析这个问题并不合适。
因为6月份是销售旺季2月份是销售淡季。
只有排除季节因素观察季节调整后的销量，分析这个问题会比较切合实际。
Eviews 6.0中季节调整的途径是：在序列窗口中点击Proc/Seasonal Adjustment。
3、时间序列各成分的分解与合成
分解的主要目的是将时间序列各波动因素分解开，可以清楚地观察各部分波动的情况，为深入研究各部分波动的变化规律提供条件。
Eviews 6.0中这种分解方法的操作是：在序列窗口中点击Proc/Seasonal Adjustment/Census X12。
例：分析我国民航客运量数据，建立模型预测1998年4月—1998年12月每月的民航客运量。
2ˆ()()t t t y
f t S a bt ct S ==++ 三、指数平滑法
前面讲的方法适合于比较有规律的数据，有比较明显的趋势变动和季节波动的序列。
实际问题中的数据有时并不那么有规则，趋势分为长期趋势与短期趋势，短期趋势经常改变的时间序列预测是很困难的，比如股票的指数。
如果有一种方法能够自动追踪数据的变化，不断调整对序列中所含短期趋势的估计，必然会受到较好短期预测的效果，指数平滑法属于这类方法。
1、一次指数平滑
一次指数平滑又称单指数平滑，模型为：1ˆˆ(1)t t t y
y y αα-=+-。
其中t y 是实际值序列，ˆt y
是平滑值序列，α是平滑系数，也叫衰减因子，平滑系数的取值范围为：01α≤≤。
模型通过迭代可得21121ˆ(1)(1)(1)t t t t t y
y y y y ααααααα---=+-+-++- 。
即ˆt y
是实际序列历史数据的加权平均数，权数是一指数衰减数列，因此该方法称为指数平滑法。
一次指数平滑法模型用于预测的公式为：ˆˆT k T y
y +=，对于所有的1k ≥。
T 是样本末期。
一次指数平滑法揭示所有指数平滑法的共同特点：能够追踪数据的变化，如果在预测过程中添加最新的样本数据，按照本方法新数据会自动取代老数据的地位。
该方法的优点是简单易行，缺点是：（1）预测值为常数；（2）短期预测较灵敏但不适合中长期预测；（3）由于预测值是历史数据的均值，预测值的变动与实际序列的变动有滞后现象。
一般认为，序列变化较为平缓，平滑系数宜取得小些，比如小于0.1；序列变化较为剧烈，平滑系数可取得大些，比如0.3~0.5。
若平滑系数取值大于0.5
才能跟上序列的变化，表面序列有很强的趋势，不能采用一次指数平滑法。
2、二次指数平滑
二次指数平滑又称为双重指数平滑，计算公式为：
1(1)t t t S y S αα-=+-
1(1)t t t D S D αα-=+-
式中，t S 是一次平滑指数，t D 是二次平滑指数。
α是平滑系数，取值范围
为：01α≤≤。
二次指数平滑的预测公式为：
ˆT k T T y
a b k +=+，对于所有的1k ≥，2T T T a S D =-,()1T T T b S D αα
=--。
T 是样本末期。
这个公式叫Brown 单参数指数平滑线性预测公式。
当数据存在线性趋势时采用二次指数平滑预测方法比较好。
但要注意这种趋势预测实际上是一种“局部”趋势预测，因为按照二次指数平滑值构造的趋势模型的斜率和截距会随着数据的更新而不断变化。
3、多参数指数平滑
（1） Holter-Winter 非季节模型
这个模型有两个平滑系数α和β，0,1αβ≤≤。
预测模型为：
ˆT k T T y
a b k +=+，对于所有的1k ≥，T 是样本末期。
11(1)()T T T T a y a b αα--=+--
11()(1)T T T T b a a b ββ--=-+-
（2） Holter-Winter 季节乘积模型
这个模型有三个平滑系数α、β和γ，0,,1αβγ≤≤。
预测模型为：
ˆ()T k T T T s k y
a b k c +--=+，对于所有的1k ≥，T 是样本末期。
t c 是季节指数，s 是季节周期长度，月度数据12s =，季度数据4s =。
11(1)()T T T T T s
y a a b c αα---=+-- 11()(1)T T T T b a a b ββ--=-+-
(1)T T T s T
y c c a γγ-=+- 这个模型与上个模型的主要不同时是增加了季节项，因适合既有趋势又有季节波动的数据。
4、操作方法
打开需要平滑的序列，主菜单的路径是Quick/Series Statistics/Exponential Smoothing ；序列对象窗口菜单路径是Proc/ Exponential Smoothing 。
在软件操作中，对于平滑系数可以是：自动给定和人工确定。
自动给定是系统按照预测误差平方和最小原则自动确定的最佳系数值。