电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。 电流连续性方程
流出闭曲面S 的电流 等于体积V 内单位时 间所减少的电荷量
积分形式
Ñ S
r J
r dS
dq dt
d dt
V
dV
微分形式
r
rr
V
gJdV r
J
Ñ S
J
dS
恒定电流场是无散场， 场线是连续的闭合曲线， 既无起点也无终点
恒定电流的连续性方程
1. 库仑（Coulomb）定律(1785年)
真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
r
r F12
erR
q1q2
4π 0 R122
q1q2 R12
4π 0 R132
说明：
z q1
r r1
o x
r
R12 q2 r
r r2
F12
y
• 大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；
• 方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；
pr
r ql
q q
r E
1
4 0
ql
cos
r2
(常矢量)
1
4
0
pr • rr r3
1
4 0
pr
•
rr
1 r3
1 r3
pr
•
rr
1 3 pr • rr r pr
4 0
r5
r
r3
2.4.8
2005-1-25
第一章 电磁场的数学物理基础
( A2.32)7
若通pr常pr为电常偶q矢lr极矩量定义q 为 q
q
q5
q2
q7
q6
q1
17
2. 电场强度
电场强度矢量
r E —— 描述电场分布的基本物理量
空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用
力，即
rr
r F
(rr
)
E(r ) lim
q q0 0
0
q0 ——试验正电荷
根据上述定义，真空中静止点电荷q 激发的 电场为
r Er (rr ) qR
，分别I用(rr来,t描) 述产生电磁效应的两类场源。电荷是
产生电场的源，电流是产生磁场的源。
电荷 电场
（运动）
电流 磁场
3
本节内容
2.1.1 电荷与电荷密度 2.1.2 电流与电流密度 2.1.3 电荷守恒定律
4
2.1.1 电荷与电荷密度
• 电荷是物质基本属性之一。 • 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。 • 1907 — 1913年间，美国科学家密立根(iken)通过油滴实验，精确测定 电子电荷的量值为
点电荷的电荷密度表示
(rr ) qδ(rr rr)
将电荷区域看作是一个没有几何大小的点。
9
z
q
rr
o
y
x
2.1.2 电流与电流密度 电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：
单位时间内通过某一横截面S 的电荷量，即
i lim (q t) dq dt t 0
单位: A （安） 电流方向: 正电荷的流动方向 形成电流的条件：
•
r F1621
，Fr1满2 足牛顿第三定律。
• 电场力服从叠加定理
真空中的N个点电荷
r 对点电荷 （位于 ）的作用力为
q1、（q分2别、L位于、qN
r q
r
r
Fq
N i1
r Fqiq
N i1
qqi Ri
4π 0 Ri3
） rr1、rr2、L 、rrN
r (Ri
rr
rri )
q3
q4
等于各点电荷对该电荷电场力的 合力。
y
由于
2 0
π
r e
d
2π 0
r (ex
cos
er
y
sin
)d
0
故
Er (rr )
r ez
S z 2 0
b d a (z2 2 )3/2
r ez
S z 2 0
(
z
2
1 a2 )1/ 2
• 存在可以自由移动的电荷; • 存在电场。
说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定 电流，用I 表示。
10
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中， 常用体电流、面电流和线电流来描述电流的分别状态。
1. 体电流 电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为
1
•本章讨论内容
2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件
2
2.1 电荷守恒定律
电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。
源量为电荷
和q电(rr流, t )
1v Ri
如果电荷是连续分布呢？
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第一章 电磁场的数学物理基础
20
体密度为 的(rr体) 分布电荷产生的电场强度
Er (rr )
(rri)ΔViRri
i
1
4π 0 Ri3 (rr)
r R
dV
4π0 V R3
小体积元中的电荷产生的电场
z
Vi V M
rr (rr) rr
4π 0 R3
r (R
rr
rr)
zq
rr
o
x
r
RM r
rr
E
y
18
真空中电场强度的计算公式
直接根据库仑定律，有：
r E
q
4 0 R 2
r eR
q
4 0 R3
r R
r
Q
1 R
r eR
R
1 R
erR
1 R2
R R3
r E
(rr
,
rr
'
)
q
4 0
1 R
q
4 0
rr
1 rr '
2005-1-25
度矢量 来描述其分布
JS
r JS
ert
lim
l0
i l
ert
di dl
ern ert
r JS
l
dh0 0
面电流密度矢量
单位：A/m （安/米） 。
正电荷运动的方向
r l 通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为
i
l
r JS
(ern
r dl )
12
任意表面线元dl表面电流：
显见有角度因素存在即：
r R
q rr
偶极子的电场就是两个点 q
电荷产生的场的叠加。
x
y
1、求电场
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r E
q
4 0
第一章
电磁R1场的数学物理基础1r
24
根据余弦定理
Q
R1
(r
2
l
2
2rl
cos
)
1 2
z
P
r
R
略去二阶无穷小
1 r
1
2l
cos
r
1 2
q q
x
rr
y
1 r
l
cos
r2
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，rr er
它所带的电量为 dq SdS ' 。S 'd 'd '
r dE
z
r P(0,0,z) R
b
而薄圆盘轴线上的场点
矢量为 rr ，erz因z此有
Er (rr ) S b 2π 4π0 a 0
P的(0位,0置, z)
erz z er (z2 2 )3/2
dd
a
dS
x
均匀带电的环形薄圆盘
（有限长）
Ez
l 4π 0r
(sin2 -
sin 1 )
当导线变为无限长时：10,2
E
l 2π 0
（无限长）
均匀带电圆环轴线上的电场强度：
Ez
(0, 0,
z)
al z 20 (a2 + z2
)3
2
22
z
2
l
M
1
均匀带电直线段
z
M
ao
y
x
l
均匀带电圆环
电偶极子的电场强度：
电偶极子是由相距很近、带等值异号电量的两个点电荷组成的电荷系统，其远区
Δl
dl
z q
单位: C / m (库/米)
如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲 线上的总电荷q 为
l rr
o
y
x
q C l (rr )dl
8
4. 点电荷
对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分析和计算该电荷所在 的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距 源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域 中心、电荷为 q 的点电荷。
r dl
r r r r r r v r r
2005轮-1-25换法则成立：A •第一B章电C磁场的数C学物•理基A础 B B • C A 13
2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程）
电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。