《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波7.1 求证在无界理想介质沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成j()e n r t m βω⋅-=e E E 。

解 E m 为常矢量。

在直角坐标中故 则 而 故可见，已知的()n j e r t m e βω⋅-=E E 满足波动方程 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。

7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。

解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 式中取显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。

7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/my z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度(,)z t H 。

解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90︒-。

与之相伴的磁场为 7.4 均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1A/m 3π，以相位常数30rad/m 在空气中沿z -e 方向传播。

当t=0和z=0时，若H 的取向为y -e，试写出E 和H 的表示式，并求出波的频率和波长。

解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 与之相伴的电场为由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为 则磁场和电场分别为7.5 一个在空气中沿ye +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为（1）求β和在3ms t =时，z H =的位置；（2）写出E 的瞬时表示式。

解（1）781π10πrad /m rad /m 0.105rad /m 31030β==⨯==⨯在t =3ms 时，欲使H z =0，则要求 若取n =0，解得y =899992.m 。

考虑到波长260mπλβ==，故因此，t =3ms 时，H z =0的位置为（2）电场的瞬时表示式为7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。

当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。

设1r μ=，试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。

解 在自由空间，波的相速80310m/sp v c ==⨯，故波的频率为在理想介质中，波长0.09m λ=，故波的相速为 而故7.7 海水的电导率4S/m γ=，相对介电常数81r ε=。

求频率为10kHz 、100kHz 、1MHz 、10MHz 、100MHz 、1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。

解 先判定海水在各频率下的属性可见，当710Hz f ≤时，满足1γωε>>，海水可视为良导体。

此时f =10kHz 时 f =100kHz 时 f =1MHz 时 f =10MHz 时当f =100MHz 以上时，1γωε>>不再满足，海水属一般有损耗媒质。

此时，f =100MHz 时f =1GHz 时7.8 求证：电磁波在导电媒质传播时场量的衰减约为55dB/λ。

证明 在一定频率围将该导电媒质视为良导体，此时 故场量的衰减因子为即场量的振幅经过z =λ的距离后衰减到起始值的0.002。

用分贝表示。

7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数00.524rad /m β=，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为 1.81rad /m β=。

设1r μ=，求理想电介质的r ε和波在电介质中的传播速度。

解 自由空间的相位常数0β=在理想电介质中，相位常数 1.81rad /sβ==，故电介质中的波速则为7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm ；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm ，且已知此时的||50V /m =E ，||0.1A /m =H 。

求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的r μ、rε。

解 自由空间中，波的相速8310m/sp v c ==⨯，故波的频率为在无损耗媒质中，波的相速为 故8210=⨯ （1）无损耗媒质中的波阻抗为||50500||0.1η====ΩΕH （2）联解式（1）和式（2），得7.11 一个频率为f =3GHz ，e y 方向极化的均匀平面波在2.5r ε=，损耗正切2tan 10γδωε-==的非磁性媒质中沿()e x +方向传播。

求：（1）波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在x =0处的950sin(610)V /m3y t ππ=⨯+E e ，写出H (x ,t )的表示式。

解 （1）29901810123 2.52310 2.51036r f γγγγωεπεεππ--====⨯⨯⨯⨯⨯⨯故而该媒质在f =3GHz 时可视为弱导电媒质，故衰减常数为由12x e α-=得（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为 而相位常数故波长和相速分别为（3）在x =0处， 故 则 故7.12 有一线极化的均匀平面波在海水(80,1,4/r r S mεμγ===)中沿+y 方向传播，其磁场强度在y =0处为 （1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H 的振幅为0.01A/m 时的位置；（3）写出E (y ,t )和H (y ,t )的表示式。

解 （1）10109044360.181080108010γπωεπεπ-⨯===⨯⨯⨯可见，在角频率1010ωπ=时，海水为一般有损耗媒质，故（2）由0.010.1yeα-=即0.1yeα-=得（3）83.910(,)0.1sin(10300)A/m3y x y t e t y πππ-=--H e其复数形式为故电场的复数表示式为 则7.13 在自由空间（z <0）沿+z 方向传播的均匀平面波，垂直入射到z =0处的导体平面上。

导体的电导率61.7MS/m γ=，1r μ=。

自由空间E 波的频率f =1.5MHz ，振幅为1V/m ；在分界面(z =0)处，E 由下式给出 对于z >0的区域，求2(,)H z t 。

解 696061.710704.4102 1.510γωεπε⨯==⨯⨯⨯可见，在f =1.5MHz 的频率该导体可视为良导体。

故 分界面上的透射系数为入射波电场的复数表示式可写为则z >0区域的透射波电场的复数形式为 与之相伴的磁场为 则7.14 一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？解 设媒质1为空气，其本征阻抗为0η；介质板的本征阻抗为2η。

故分界面上的反射系数和透射系数分别为 式中都是实数，故,ρτ也是实数。

反射波的电场为可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。

但波的传播方向变为-z 方向，故反射波也变为右旋圆极化波。

而入射波是沿+z 方向传播的左旋圆极化波。

透射波的电场为式中，2β==2中的相位常数。

可见，透射波是沿+z 方向传播的左旋圆极化波。

7.15 均匀平面波的电场振幅0100V /m j m E e +=o，从空气中垂直入射到无损耗的介质平面上（介质的20202,4,0μμεεγ===），求反射波和透射波的电场振幅。

解1120πη===Ω反射系数为 透射系数为故反射波的电场振幅为 透射波的电场振幅为7.16 最简单的天线罩是单层介质板。

若已知介质板的介电常数02.8εε=，问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz 的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。

当频率分别为3.1GHz 及2.9GHz 时，反射增大多少？题7.16图解 天线罩示意图如题7.16图所示。

介质板的本征阻抗为2η，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为1η和3η。

设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。

设媒质1中的入射波电场只有x 分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为而媒质1中的反射波电场为 与之相伴的磁场为故媒质1中的总电场和总磁场分别为1111()()11111()()1111111j z d j z d x m x m j z d j z d m m y y E e E eE Ee e ββββηη-+++-+-+--+++-⎫=+=+⎪⎬=+=-⎪⎭E E E e e H H H e e （1）同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场2222222212222222j z j x m x m j z j z m m y y e E eE E e e ββββηη-+-+-+--+-⎫=+=+⎪⎬=+=-⎪⎭E E E e E e H H H e e （2）媒质3中只有透射波3333333j zx m j z my E eE e ββη-++-⎫=⎪⎬=⎪⎭E e H e （3）在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅1m E +，而2m E -、2m E +、2m E -和3m E +为待求量。

利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。

在分界面②处，即z =0处，应有2323,x x y yE E H H ==。

由式（2）和（3）得2232232311()m m m m m m E E E E E E ηη+-++-+⎫+=⎪⎬-=⎪⎭ （4）由式（4）可得出分界面②上的反射系数2322232m m E E ηηρηη-+-==+ （5）在分界面①处，即z =-d 处，应有12x x E E =，12y yH H =。

由式（1）和（2）得222222*********11222122()11()()()j d j d j d j d m m m m m j dj d j dj d m m m m m E E E e E e E ee E E E E eE ee e ββββββββρρηηη--+-+-++--+-+-⎫+=+=+⎪⎬-=-=-⎪⎭ （6）将分界面①上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗），由式（1）得11111111111()m m m m ef m m m m E E E E E E E E ηηη+-+-+-+-++==-- （7）将式（6）代入式（7）得2222222j d j def j dj d e e e e ββββρηηρ--+=- （8）将式（5）代入式（8），并应用欧拉公式，得3222232tan tan ef j dj d ηηβηηηηβ+=+ （9）再由式（7）得分界面①上的反射系数11111ef mm ef E E ηηρηη-+-==+ （10）显然，若分界面①上的等效波阻抗efη等于媒质1的本征阻抗1η，则10ρ=，即分界面①上无反射。

通常天线罩的、外都是空气，即130ηηη==，由式（9）得 欲使上式成立，必须2,1,2,3d n n βπ==L 。