武汉大学2016-2017学年第二学期课程考试试卷(A卷)《数字信号处理》课程（闭卷）专业：信息安全、计算机科学与技术、网络空间安全年级：班级：姓名：学号：总分：一、填空题（每小题3分，共15分）1、付立叶级数：若x(t)是以T为周期的函数，则付氏变换可以用付立叶级数表示为：，物理含义为：。
2、采样信号的频域表示（采样脉冲是以T为周期）为：，该表达式的物理意义为：。
3、在Matlab中，函数可以产生一个包含N个零的行向量，。
在给定的区间上可以用这个函数产生)(n4、在Matlab中，可以利用函数计算序列的离散时间傅立叶变换在给定的离散频率点上的抽样值。
5、IIR滤波器的设计方法，一般分为、和这三种。
二、简答题（每小题7分，共35分）1、简要叙述采样定理。
2、简要叙述数字信号处理的一般过程。
3、离散傅氏变换DFT的定义。
4、简要给出冲击函数的定义、性质和推广性质。
5、简要分析FFT的计算量和算法特点。
三、设系统为D n Cx n y +=)()(，判断它是不是线性系统。
（5分）四、已知一长度为16的有限长序列 )25.0sin()(n n x π=，试利用Matlab计算序列)(n x 的16点和512点DFT 。
（10分）五、已知某LTI 离散系统的系统函数为：11111)(-----=az z a z H 其中，a 为实数。
（1） 试判断a 值在什么范围内时该系统是因果稳定系统？（2）证明该系统是一个全通系统（即频率响应的幅度特性为一常数）？（10分）六、现有一频谱分析FFT 处理器。
假设要求频率分辨率为Hz F 5≤。
信号的最高频率成分KHz f 25.1max ≤。
试求：（1） 采样时间间隔T ；（2） 1次记录时间长p t ；（3） 信号记录长度N 。
（15分）七、用双线性变换法设计一个3阶Butterworth 数字低通滤波器。
其截止频率Hz f c 400=，系统采样频率为：KHz f s 2.1=。
（10分）（附注：3阶Butterworth 模拟原型低通滤波器1)(2)(2)(1)(23+++=c c c ssss H ωωω ）武汉大学2016-2017学年第二学期课程考试试卷(A 卷)答案《数字信号处理》课程（闭卷）专业：信息安全 、计算机科学与技术、网络空间安全年级： 班级： 姓名： 学号： 总分：一、填空题（每小题3分，共15分）1、付立叶级数：若x(t)是以T 为周期的函数，则付氏变换可以用付立叶级数表示为：s m t jm m f T e C t x s ππωω22 )(s ==•=∑∞-∞= 其中 ⎰--•=22)(1T T s dt e t x C t jm T m ω 为付氏级数系数s ω 为基波角频率物理含义：若函数x(t)表示周期信号，t —时间、T —周期， 则C m 表示信号的离散频谱，f —频率、ω—角频率（fπω2=）2、采样信号的频域表示（采样脉冲是以T 为周期）为：∑⎰∞-∞=∞∞---=•=n s t j p n X T dt e t x )(1 )()(X p ωωωω 该表达式的物理意义为：时域中的连续信号经单位脉冲取样后，在频域中产生周期性函数，其周期等于取样角频率。
3、在Matlab 中，函数 zeros(1,N) 可以产生一个包含N 个零的行向量，在给定的区间上可以用这个函数产生)(n δ。
4、在Matlab 中，可以利用函数 freqz 计算序列的离散时间傅立叶变换在给定的离散频率点上的抽样值。
5、IIR滤波器的设计方法，一般分为、和这三种。
（1）以模拟滤波器函数为基础的变换法；（2）直接设计法：根据另、极点对系统特性的影响，调整另极点位置满足系统特性。
然后由另、极点值求得得H(z)。
（3）最优化设计法：（计算机辅助设计）在某种最小化误差准则下，建立差分方程系数a k、b i对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程组得到最佳逼近系统。
由于此方法计算量大，需要借助于计算机进行设计。
二、简答题（每小题7分，共35分）1、简要叙述采样定理。
答：如连续时间信号（模拟信号）是有限带宽信号，当采样频率f s大于等于信号的最高频率成分f max的两倍（f s≥2f max），则从采样信号（离散时间信号）可以完全恢复原信号（模拟信号）2、简要叙述数字信号处理的一般过程。
答：数字信号处理的一般过程的说明。
（1）在自然界中大量的信号是模拟信号，所以数字信号处理系统一般输入为模拟信号x a(t)。
（2）模拟信号x a(t)经过抽样处理得到离散信号x a(n)，再经A/D量化得数字信号x(n)，输入数字处理单元。
（3）经数字处理单元输入数字信号x(n)变换成输出数字信号y(n) 。
（4）输出数字信号y(n) 经过D/A 变换和平滑滤波得模拟信号y a (t)输出。
（5）因为系统中输入、输出信号之间的变换是由数字处理单元完成，所以该系统是数字信号处理系统。
3、离散傅氏变换DFT 的定义。
答：对于有限长序列⎩⎨⎧≤≤=n N-n n x n x010 )()(其余 定义: 离散傅立叶变换：10 DFT(x (n)))()(10N-k W n x k X N n kn ≤≤==∑-=反变换 10 ))((IDFT )(1)(10N-n k X Wk X N n x N k kn ≤≤==∑-=- 其中：N j e W π2-= 称为旋转因子。
4、简要给出冲击函数的定义、性质和推广性质。
答：5、简要分析FFT 的计算量和算法特点。
答：计算量：复数乘法 2log 22N N 次，复数加法 N N 2log 次。
冲击函数：⎩⎨⎧=∞≠=0 0 0)(t t t δ 性质：1)(=⎰∞∞-dt t δ 推广：)()()(00t f dt t f t t =-⎰∞∞-δ算法特点：（1）以碟形运算为基础进行组合计算，计算因子W K 的指数K 与运算所在的级数和组内位置有关。
（2）中间数据的存储，可采用原位存储法。
即每次碟形运算的结果可以存储在原数据的同一个存储单元。
这样在高速硬件实现时，可节省存储器。
（3）输入序列的混序。
因为DFT 输入序列是顺序采样的，所以在计算FFT 之前需要进行序列按混序要求排序。
排序算法很多，较常用的计算混序号的方法有二进制序号反转算法。
三、设系统为D n Cx n y +=)()(，判断它是不是线性系统。
（5分） 解：对于任意两信号序列)(1n x 和)(2n x ，任意常数a ，b 。
有 D n Cx n y +=)()(11 和 D n Cx n y +=)()(22bDn Cbx aD n Cax n by n ay Dn bx n ax C n bx n ax T n y +++=+≠++=+=)()()()()]()([)]()([)(21212121所以系统为非线性系统。
四、已知一长度为16的有限长序列 )25.0sin()(n n x π=，试利用Matlab 计算序列)(n x 的16点和512点DFT 。
（10分）见P97五、已知某LTI 离散系统的系统函数为：11111)(-----=az z a z H 其中，a 为实数。
（2） 试判断a 值在什么范围内时该系统是因果稳定系统？（2）证明该系统是一个全通系统（即频率响应的幅度特性为一常数）？（10分）解：（1）因为：az a z az z a z H --=--=----111111)( 系统极点为a z =。
系统是因果稳定系统，其收敛域应该包括单位圆和无穷远点。
或极点a z =在单位圆内，所以a 应该为：1||0<<a（2） 系统频率响应 ωωωωj j j j aee a e z z H e H -----===11|)()(1 a a a a a e H j 1)sin())cos(1()sin())cos((1|)(|22222=+-+-=ωωωωω，全通系统。
六、现有一频谱分析FFT 处理器。
假设要求频率分辨率为Hz F 5≤。
信号的最高频率成分KHz f 25.1max ≤。
试求：（4） 采样时间间隔T ；（5） 1次记录时间长p t ；（6） 信号记录长度N 。
（15分）解：根据采样定理，系统的采样频率kHz 5.22max =≥f f s 。
（1） 采样时间间隔：ms s f T s 4.0104.0105.21133=⨯=⨯==- （2） 1次记录时间长： s F t p 2.0511===（3） 信号记录长度：点500104.02.03=⨯=≥Tt N p 取点5122==p N 七、用双线性变换法设计一个3阶Butterworth 数字低通滤波器。
其截止频率Hz f c 400=，系统采样频率为：KHz f s 2.1=。
（10分） 解：系统的采样频率kHz 2.1=s f 。
（1） 设计指标的予畸变换： Hz f c 400=数字滤波器截止频率：32120040022πππ=⨯==Ωs c c f f 模拟原型低通滤波器截止频率：red/s 732.1)()2(≈=Ω=πωtg tg c c（2） 设计模拟原型低通滤波器：（3阶Butterworth ） 1)(2)(2)(1)(23+++=c c c s s s s H ωωω，代入c ω，计算得： 196.56464.3196.5)(23+++=s s s s H （3）用双线性变换式求得：66.1124.9124.1566.1513311|)()(2323++++++=+-==z z z z z z z z s s H z H （4）整理成标准形式：32123)106.0()583.0()966.0(10638.01914.01914.00638.0)(-----------+++=z z z z z z z H （5）画出实现框图：[略]。