课题：垂直于弦的直径
教材：人教版九年级数学（上册）
一、目标分析
①知识技能：在学生理解圆是轴对称图形的基础上理解垂径定理及有关结论，并能初步
运用它们解决相关问题。
②过程与方法：学生经历垂径定理及其推论的探索、证明和应用的过程，培养学生的主
动探究和创新意识，体验数形结合及转化的数学思想。
③情感态度与价值观：通过问题的提出、探索、解决的过程，使学生领会数学的严谨性，
培养学生实事求是的科学态度。
二、教学重难点
【重点】：理解掌握垂径定理及其推论，并能初步应用。
【难点】：垂径定理的推导过程。
三、教学方法与手段
教学方法：采用直观演示法、实验操作法和启发探索法。
教学手段：多媒体与学具相结合。
四、教学过程
（一）设疑激趣，导入课题
1、让学生通过课件欣赏几幅美丽的拱桥图片，以赵州桥为例，提问：已知主桥拱的跨度
与拱高，能求出主桥拱的半径吗？
7.2米
37.4米
2、通过动画演示把赵州桥主桥拱抽象为弓形纸片，把问题转化为已知弦和折痕的长，求
原来圆的半径。
（二）动手操作，尝试发现
1、让学生把圆形纸片沿着任意一条直径所在是直线折叠 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的
对称轴。
（所以圆的对称轴有无数条）
2、让学生在圆形纸片上任作一条弦AB ，再作垂直于这条弦的直径CD ，垂足为E ，
将圆形纸片沿CD 折叠，同桌一起操作，观察，讨论，猜想。
看图中有哪些相等的线段和弧。
学生不难发现：有AE=BE , AC = BC A D =BD
（三）证明猜想，发现定理
猜想的结果是否正确，需要进行理论证明。
1、让学生分析猜想的题设与结论，结合图形写出已知和求证。
已知：在⊙O 中，CD 是直径，AB
是弦，CD ⊥AB ，垂足为E 求证：AE=BE
A D =BD,AC = BC
证明：连结OA 、OB ，
∵ OA=OB，
∴△OAB 为等腰三角形 又∵OE ⊥AB， ∴AE=BE
∵ CD 所在的直线是线段AB 的垂直平分线． ∴ 当把⊙O 沿CD 折叠时，点A 与点B 重合．弧
AC 、AD 分别与弧BC 、BD 重合。
∴ A D =BD,AC = BC
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平
分弦所对的两条弧。
（板书）
o
O E
C
B
A
（1）、分析定理中的题设与结论
题设 结论
① 直径 ③平分弦
④平分弦所对的劣弧 ② 垂直于弦 ⑤平分弦所对的优弧
教师强调垂径定理其实就是两条件三结论，条件：直径，垂直于弦。
结论：平分弦，平分弦所对的两条弧。
知二推三，是今后证明线段相等和弧相等的重要依据。
3、练习
下列图形中，哪个图形中的AE=BE ？为什么？
分析：定理中的直径不仅仅只可以是直径，还可以是直径所在的直线，半径或弦心距。
但
它们都有一个共同的特点：过圆心，垂直于弦。
在以后解决圆中有关弦的问题时，常要作“垂直于弦的直径”为辅助线，往往只需过圆心 作一条与弦垂直的线段即可。
4、通过把定理中的条件“垂直于弦”与结论中的“平分弦”交换得到新命题，
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧。
（板书）
用几何语言表述为：（板书） 如图：∵AE=BE ，CD 是⊙O 的直径
（2）、将垂径定理翻译成几何语言 (板书)
如图：∵ CD ⊥AB 于E ，CD 是⊙O 的直径，
O E
C
B
A
E C O A B E C O B A E
C
O A E
C
O
B A O B A
O B A O B A O
B A O E
C B
A
∴ CD⊥
AB,AC =BC, AD = BD
教师通过反例强调：其中被平分的弦不能是直径。
并引导学生向更深处探究：
①CD是⊙O的直径②CD ⊥ AB ③
例如：填空，如图：
CD是⊙O的直径
AC = BC
（）
（四）巩固新知、知识反馈
练习1、如图（1），在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为OE=3cm。
则⊙O的半径为。
练习2、如图（2），在⊙O中，AE=BE=4cm,OE=3cm,则⊙O的半径为
练习3是课前提出的问题，教师引导学生设弓形纸片所在圆的圆心为O，连接OA，过圆心O作半径OC垂直AB于点D，根据垂径定理，则CD为弓高,等于2cm。
设半径
若知二可推三
练习3、如图（3）已知弓形的弦AB=8cm，弓高为2cm,则此弓形所在圆的半径为。
CD ⊥AB
AD=BD
AE=BE
CD是⊙O的直径
CD是⊙O的直径
CD是⊙O的直径
④
C
(3)
为r ，利用勾股定理，在R t △ADO 中有
()2
2
2228-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=r r
解得r=5
接下来让学生以小组为单位按照课前演示对弓形纸片进行操作，测量，计算。
教师适当指导点拨,学生代表回答测量结果和所求半径。
发现虽然各自撕下的弓形大小不一，弦长和弓高不同，但因课前准备的都是等圆，忽略误差所求半径都一样。
（五）运用定理，解决问题
1、例题：赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结
晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m , 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m ）
解： 用弧AB 表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O ，半径为R 。
过圆O 的圆心O 作
弦AB 的垂线OC 交AB 于点D ，交弧AB 于点C 根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，CD 就是拱高。
∵AB=37.4， CD=7.2
∴AD=
21AB=2
1
×37.4=18.7 OD=OC-CD=R-7.2
在Rt △OAD 中，∠ODA=90°
∴()2
2
22.77.18-+=R R
解得 R ≈27.9（m ）
答：赵州桥的主桥拱半径约27.9m.
小结：添加辅助线与构造基本图形的常用方法： 半径半弦弦心距，化为勾股最容易，
知拱高，求半径，直角三角形少不了。
2、对赵州桥问题进行拓展延伸，在原题的基础上添加第二个问题：现有一艘宽16米，船
C
舱顶部为长方形并高出水面5.9米的船要经过这里，此船能顺利通过赵州桥吗？
此题的解决有难度，所以留给学生课后进行深入探究。
学生独立完成，教师重点关注学生是否能运用垂径定理得到邻边AE=AD （六）归纳小结，反思提高
1、圆的重要性质：① 轴对称性。
② 垂径定理及其推论
2、垂径定理及其推论的应用：
① 解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明和作图。
② 解决某些实际问题（如拱桥半径）。
垂径定理及推论的应用常与勾股定理相结合，实
际上把问题转化为解直角三角形 。
3、常用的辅助线：① 作半径；② 过圆心作弦的垂线段。
垂径定理与勾股定理相结合，
得出2
2
2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+=a d r
五、分层作业，各有所获
1、必做题： 课本88页第8、9、10题
2、选做题：赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智
慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m , 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，现有一艘宽16米，船舱顶部为长方形并高出水面5.9米的船要经过这里，此船能顺利通过赵州桥吗？（半径已求，半径≈27.9m ）
3、完成课后练习2
已知：如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直的两条相 的弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E 。
求证：四边形ADOE 为正方形。
九年级数学上册第二十四章《圆》第一节
垂直于弦的直径
（教案）
潮州市湘桥区城基中学
林萱。