模块综合检测(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上) 1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(9，13)，则f (25)的值是________．解析：设f (x )＝x α，将(9，13)代入得9α＝13，即32α＝3－1，∴2α＝－1，∴α＝－12，∴f (x )＝x －12.∴f (25)＝25－12＝15.答案：152．(2011·新课标高考改编)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．①y ＝x 3②y ＝|x |＋1 ③y ＝－x 2＋1 ④y ＝2－|x |解析：y ＝x 3为奇函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上为减函数，y ＝2－|x |在(0，＋∞)上为减函数．故只有②符合条件答案：②3．若集合A ＝{x |log 12x ≤12}，则∁R A ＝________．解析：由log 12x ≤12得x ≥(12)12＝22.∴A ＝[22，＋∞)．∴∁R A ＝(－∞，22)． 答案：(－∞，22) 4．试比较1.70.2、log 2.1 0.9与0.82.1的大小关系，并按照从小到大的顺序排列为________． 解析：log 2.10.9<0，1.70.2>0，0.82.1>0. ∵1.70.2>1.70＝1，0.82.1<0.80＝1， ∴log 2.10.9<0.82.1<1.70.2. 答案：log 2.10.9<0.82.1<1.70.25．设集合M ＝{x |x －m ≤0}，N ＝{y |y ≥－1}，若M ∩N ＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：M ＝(－∞，m ]，N ＝[－1，＋∞)，∵M ∩N ＝∅， ∴m <－1. 答案：m <－16．(2012·山东高考改编)函数f (x )＝1ln （x ＋1）＋ 4－x 2的定义域为________．解析：x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2.答案：(－1，0)∪(0，2]7．若函数f (x )＝ax －b 有一个零点是3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________． 解析：由条件可得3a －b ＝0，即b ＝3a ， ∴g (x )＝bx 2＋3ax ＝3ax 2＋3ax ，令g (x )＝0 得x ＝－1，0. 答案：－1，08．函数f (x )＝log 13(－3x ＋2)的单调递增区间为________．解析：∵函数的定义域为－3x ＋2>0，∴x <23.令u ＝－3x ＋2，∵f (u )＝log 13u 是减函数，要求f (x )的单调增区间，只需求u ＝－3x ＋2的递减区间，即(－∞，23)．答案：(－∞，23)9．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x＋a e x )＝x (e x ＋a e －x)，化简得x (e －x＋e x)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－110．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝2x，函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又∵当x >0时，f (x )＝2x，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x＝－f (x )， ∴f (x )＝－2－x＝－(12)x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，0，x ＝0，－（12）x，x <0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >00，x ＝0－（12）x，x <011．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则不等式f (x )≥1的解集是________．解析：x >0时，由log 3x ≥1得x ≥3，∴x ≥3. 当x ≤0时，由2x≥1得x ≥0，∴x ＝0. 由上可知解集为{x |x ＝0或x ≥3}． 答案：{x |x ＝0或x ≥3}12．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下左图，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是________．解析：由f (x )的图象可知a ∈(0，1)，b ∈(－∞，－1)．∵0<a <1，∴y ＝a x单调递减，b <－1，∴x ＝0时，y ＝b ＋1<0，故g (x )＝a x＋b 的图象是①.答案：①13．函数y ＝log 2x ＋log 2(1－x )的最大值是________．解析：要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧x >01－x >0，解得0<x <1，又y ＝log 2[x (1－x )]＝log 2[－(x －12)2＋14]，当x ∈(0，1)时，0<－(x －12)2＋14≤14，∴y ≤log 214＝－2，∴y max ＝－2. 答案：－214．设定义在R 上的关于x 的函数f (x )＝ax ＋a ＋1，当－1<x <1时，函数有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：根据零点存在性定理知，f (－1)f (1)<0， ∵f (－1)＝1>0，∴f (1)＝2a ＋1<0，解得a <－12.答案：a <－12二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算：(1)[(549)0.5＋(0.008)－23÷(0.2)－1]÷0.06250.25；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解：(1)原式＝[(73)2×0.5＋(0.2)3×(－23)÷(0.2)－1]÷(0.5)4×14＝(73＋52÷5)÷0.5＝223÷12＝443. (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64＝[(log 66－log 63)2＋log 62·(log 63＋log 66)]÷log 64 ＝[log 62(log 62＋log 63＋1)]÷2log 62＝1.16．(本小题满分14分)已知集合M ＝{x |－ax 2＋2x ＋1＝0}只有一个元素，A ＝{x |y ＝－x ＋1}，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x －1}．(1)求A ∩B ；(2)设N 是由a 可取的所有值组成的集合，试判断N 与A ∩B 的关系． 解：(1)由x ＋1≥0得x ≥－1， 则A ＝{x |x ≥－1}；由y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，得y ≤0， 则B ＝{y |y ≤0}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ≤0}．(2)因为集合M 只有一个元素，所以当a ＝0时， 方程2x ＋1＝0只有一个实数解，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝4－4(－a )＝0，解得a ＝－1. 所以N ＝{－1，0}，则N ⊆A ∩B .17．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b ＝ax 2＋2－3x －b. 因此b ＝－b ，即b ＝0.又f (2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x，f (x )在(－∞，－1]上为单调增函数．证明：设x 1<x 2≤－1，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝23(x 2－x 1)(1－1x 1x 2)＝23(x 2－x 1)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵x 1<x 2≤－1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>1，f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(－∞，－1]上为单调增函数．18．(本小题满分14分)A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处的D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市的距离不得小于10 km ，已知供电费用刚好和供电距离的平方与供电量之积成正比，比例系数k ＝0.2，若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)写出x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小． 解：(1)10≤x ≤90.(2)y ＝[20x 2＋10(100－x )2]×0.2 ＝6x 2－400x ＋20 000(10≤x ≤90)． (3)由(2)知，y ＝6x 2－400x ＋20 000 ＝6(x －1003)2＋40 0003.∴当x ＝1003时，y min ＝40 0003.即核电站建在距A 城1003km 处时，才能使供电费用最小．19．(本小题满分16分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2，2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1，2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．解：(1)由条件得f (1)＝1，f (2)＝2，f (0)＝2得a ＝1，b ＝－2，c ＝2，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∴M ＝f (－2)＝4＋4＋2＝10，m ＝f (1)＝1.(2)由条件得ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个相等实根1，从而a ＋b ＋c ＝1，(b －1)2＝4ac ，得c ＝a ，b ＝1－2a .则f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a .∵a ≥1，∴对称轴x ＝2a －12a ＝1－12a ∈[12，1)，∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f (1－12a )＝1－14a .∴g (a )＝9a －14a －1，(a ≥1)，又g (a )在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (a )最小值＝g (1)＝8－14＝314.20．(本小题满分16分)已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(1)求证：函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数； (2)若f (1)<f (lg x )，求x 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2≤0，则－x 1>－x 2≥0， 因为f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∴f (－x 1)>f (－x 2)， 又因为f (x )是偶函数，所以f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2)，f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数． (2)当0<x ≤1时，lg x ≤0，由f (1)<f (lg x )得f (－1)<f (lg x )，函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数， ∴－1>lg x ，0<x <110，当x ≥1时，lg x ≥0，由f (1)<f (lg x )，f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∴lg x >1，x >10，综上所述，x 的取值范围是1010⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪(10，＋∞)．。