2016年浙江省杭州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}2．（5分）若sinx﹣2cosx=，则tanx=（）A．B．C．2 D．﹣23．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）A．B．2 C．D．4．（5分）命题：“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinxB．∀x∈R，x2+1≤0或x≤sinxC．∃x0∈R，x+1≤0且x0＞sinx0D．∃x0∈R，x+1≤0或x0≤sinx05．（5分）设x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若函数f（x）存在零点x0，则（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c6．（5分）设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Г的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆M的离心率为e1，双曲线Г的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=（）A．B．C．D．7．（5分）在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若=x+y，则x+y的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．88．（5分）记S n是各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和，若a1≥1，则（）A．S2m S2n≥S m+n2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nB．S2m S2n≤S m+n2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nC．S2m S2n≥S m+n2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+nD．S2m S2n≤S m+n2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+n二、填空题：本题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（4分）设ln2=a，ln3=b，则e a+e b=．（其中e为自然对数的底数）10．（6分）设函数f（x）=﹣ln（﹣x+1）；g（x）=，则g（﹣2）=；函数y=g（x）+1的零点是．11．（6分）设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于，z的最小值等于．12．（6分）设直线l1：（m+1）x﹣（m﹣3）y﹣8=0（m∈R），则直线l1恒过定点；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为．13．（6分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且BC=CD=3．将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于．14．（4分）设x＞0，y＞0，且（x﹣）2=，则当x+取最小值时，x2+=．15．（4分）已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．三、解答题：本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（15分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，（1）求C；（2）若，求a，b，c．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1ABB1．（1）求证：AB⊥BC；（2）设直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试比较θ和φ的大小关系，并证明你的结论．18．（15分）设数列{a n}满足a1=，a n+1=a n2+a n+1（n∈N*）．（1）证明：≥3；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明：S n＜3．19．（15分）设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1．若=λ（λ＞0）．（Ⅰ）求点C的轨迹Г；（Ⅱ）过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹Г于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由．20．（14分）设二次函数f（x）=ax2+2bx+c（c＞b＞a），其图象过点（1，0），且与直线y=﹣a有交点．（1）求证：；（2）若直线y=﹣a与函数y=|f（x）|的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，求的取值范围．2016年浙江省杭州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）（2016•杭州一模）设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，B={x|﹣1＜x≤2}，则∁R A={x|0＜x＜2}（∁R A）∩B={x|0＜x＜2}．故选：B．2．（5分）（2016•杭州一模）若sinx﹣2cosx=，则tanx=（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：∵sinx﹣2cosx=，∴sinx=2cosx+，∴两边平方得：sin2x=1﹣cos2x=4cos2x+5+4cosx，整理可得：5cos2x+4+4cosx=0，解得：cosx=﹣，解得：sinx=2×（﹣）+=，∴tanx===﹣．故选：A．3．（5分）（2016•杭州一模）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）A．B．2 C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．∴该几何体的侧面PAB的面积==．故选：D．4．（5分）（2016•杭州一模）命题：“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinxB．∀x∈R，x2+1≤0或x≤sinxC．∃x0∈R，x+1≤0且x0＞sinx0D．∃x0∈R，x+1≤0或x0≤sinx0【解答】解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题：“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定为：∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinx．故选：A．5．（5分）（2016•杭州一模）设x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若函数f（x）存在零点x0，则（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【解答】解：∵y=2x在（0，+∞）上是增函数，y=log x在（0，+∞）上是减函数，可得x在（0，+∞）上是增函数，由0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．即f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0．由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，此时B成立．当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞c＞a．综上可得，B成立．故选：B．6．（5分）（2016•杭州一模）设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Г的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆M的离心率为e1，双曲线Г的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：=1，﹣=1（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由cos∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mn•，∴4c2=（a1﹣a2）2+（a1+a2）2﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为5c2=a12+4a22，∴+=5．∵e2=2e1，∴e1=，故选：C．7．（5分）（2016•杭州一模）在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若=x+y，则x+y的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：设圆心为O，半径为r，则OD⊥AC，OE⊥BC，∴3﹣r+4﹣r=5，解得r=1．连结DE，则当x+y=1时，P在线段DE上，排除A；在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM=2CD，CN=2CE，连结MN，∴=+．则点P在线段MN上时，+=1，故x+y=2．同理，当x+y=4或x+y=8时，P点不在三角形内部．排除C，D．故选：B．8．（5分）（2016•杭州一模）记S n是各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和，若a1≥1，则（）A．S2m S2n≥S m+n2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nB．S2m S2n≤S m+n2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nC．S2m S2n≥S m+n2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+nD．S2m S2n≤S m+n2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+n【解答】解：由S n是各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和，可采用取特殊数列方法验证排除，如：数列1，2，3，4，5，6，…取m=1，n=1，则S2m=S2=3，S2n=S4=10，S m+n=S3=6，∴S2m S2n=S2S4=30＜36==S m+n2，lnS2m lnS2n=ln3•ln10＜ln26=ln2S m+n．故选：B．二、填空题：本题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（4分）（2016•杭州一模）设ln2=a，ln3=b，则e a+e b=5．（其中e为自然对数的底数）【解答】解：ln2=a，ln3=b，则e a+e b=e ln2+e ln3=2+3=5．故答案为：5．10．（6分）（2016•杭州一模）设函数f（x）=﹣ln（﹣x+1）；g（x）=，则g（﹣2）=﹣ln3；函数y=g（x）+1的零点是1﹣e．【解答】解：∵当x＜0时，g（x）=f（x），∴g（﹣2）=f（﹣2）=﹣ln3．令y=g（x）+1=0得g（x）=﹣1，∴或，解得x=1﹣e．故答案为：﹣ln3，1﹣e．11．（6分）（2016•杭州一模）设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于2，z的最小值等于0．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过O时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0；当直线过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2．故答案为：2，0．12．（6分）（2016•杭州一模）设直线l1：（m+1）x﹣（m﹣3）y﹣8=0（m∈R），则直线l1恒过定点（2，2）；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为x+y=0．【解答】解：∵直线l1：（m+1）x﹣（m﹣3）y﹣8=0（m∈R），化为：m（x﹣y）+（x+3y ﹣8）=0，可得，解得x=y=2，则直线l1恒过定点（2，2）．过原点作直线l2∥l1，可设l2方程为：（m+1）x﹣（m﹣3）y=0，则经过两点（0，0）与（2，2）的直线方程为：y=x．则当直线l1与l2的距离最大时，l2与直线y=x垂直．直线l2的方程为x+y=0．故答案分别为：（2，2）；x+y=0．13．（6分）（2016•杭州一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且BC=CD=3．将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M 位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于．【解答】解：由题意可得点A的射影M的轨迹为CD的中位线，其长度为CD=；当点M位于线段BD上时，AM⊥平面ACD，取BC中点为N，AC中点为P，∴∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，则由中位线可得MN=CD=，PC=AB=，又MP为RT△AMC斜边AC的中线，故MP=AC=，∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP==，故答案为：；．14．（4分）（2016•杭州一模）设x＞0，y＞0，且（x﹣）2=，则当x+取最小值时，x2+=12．【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴当x+取最小值时，（x+）2取最小值，∵（x+）2=x2++，（x﹣）2=，∴x2+=+，∴（x+）2=+≥2=16，∴x+≥4，当且仅当=即x=2y时取等号，∴x2++=16，∴x2++=16，∴x2+=16﹣=12，故答案为：12．15．（4分）（2016•杭州一模）已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为：．三、解答题：本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（15分）（2009•江西）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，（1）求C；（2）若，求a，b，c．【解答】解：（1）由得则有=得cotC=1即、（2）由推出；而，即得，则有解得．17．（15分）（2016•杭州一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1ABB1．（1）求证：AB⊥BC；（2）设直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试比较θ和φ的大小关系，并证明你的结论．【解答】证明：（1）过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，∵面A1BC⊥面A1ABB1，面A1BC∩面A1ABB1=A1B，∴AD⊥面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，∵AB⊂面A1ABB1，∴AB⊥BC．解：（2）连结CD，由（1）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，又∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣A的平面角，设∠ACD=θ，∠ABA1=φ，在Rt△ADC中，sin，在Rt△ADB中，sinφ=，∵AB⊥BC，∴AB＜AC，∴sinθ＜sinφ，∵，∴θ＜φ．18．（15分）（2016•杭州一模）设数列{a n}满足a1=，a n+1=a n2+a n+1（n∈N*）．（1）证明：≥3；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明：S n＜3．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=，a n+1=a n2+a n+1（n∈N*）．∴a n＞0，∴=a n++1≥+1=3，当且仅当a n=1时取等号，∴≥3．（2）由（1）可得a n a n+1．∴．∴当n≥2时，≤≤…≤=2．∴S n≤2=2×=3．∵a n≠1，∴S n＜3．19．（15分）（2016•杭州一模）设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1．若=λ（λ＞0）．（Ⅰ）求点C的轨迹Г；（Ⅱ）过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹Г于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，C在线段BA的延长线上，设A（m，0），B（0，n），则m2+n2=1，再设C（x，y），由=λ（λ＞0），得（x﹣m，y）=λ（m，﹣n），∴，得，代入m2+n2=1，得；（Ⅱ）设E，F，K的横坐标分别为：x E，x F，x K，设点D（s，t），则直线PQ的方程为：，设直线m的方程：y=kx+b，∴t=ks+b，得，将直线m代入椭圆方程得：，∴=．∴=•=2．验经证当m的斜率不存在时成立，故存在实数t=2，使得+=恒成立．20．（14分）（2016•杭州一模）设二次函数f（x）=ax2+2bx+c（c＞b＞a），其图象过点（1，0），且与直线y=﹣a有交点．（1）求证：；（2）若直线y=﹣a与函数y=|f（x）|的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，求的取值范围．【解答】解：（1）∵a+2b+c=0，c＞b＞a，∴a＜0，c＞0，∵﹣a﹣2b＞b＞a，∴﹣＜＜1，∵函数f（x）的其图象与直线y=﹣a有交点，∴ax2+2bx+c+a=0有实根，即△=4b2﹣4a（c+a）=4b2+8ab≥0，∴4（）2+8•≥0，知≤﹣2或≥0，综上所述可得0≤＜1，（2）∵点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，设|AB|=|CD|=m，|BC|=n，∵线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，∴，得n＜2m＜n，∴2n＜2m+n＜（+1）n，∴2|BC|＜|AD|＜（+1）|BC|，设x1，x2是方程ax2+2bx+c+a=0的两根，则|BC|=，设x3，x4是方程ax2+2bx+c﹣a=0的两根，则|AD|=，∴2＜＜（+1），解得﹣1+＜＜﹣1+。