分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句
话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一 个分数。
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
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无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理 量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进 无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的 正方形的对角线的长度（即 2）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它 们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无 理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想
RQ Z
N
N
Z
Q
R
C
很明显, 引进虚数单位后, 有 i 2 = -1, (-
i)2=i 2=-1, 所以方程 x2=-1 的解是 x=±I 虚数单位的幂的性质: i 4n =1, i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =i ( n∈N ) 以上性质叫 i 的周期性.
4.1 复数的概念
负数」，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的
引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数， 则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自
然数系扩大为整数系。
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分 数
原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文· 八部》对 “分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。” 但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合
实部和虚部分别相等，那么我们就说这 两个复数相等这就是说，如果a，b，c， d∈R，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集 中解方程的重要依据 一般地，两个复 数只能说相等或不相等，而不能比较大 小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题：“任何两个复数都不能 比较大小”对吗？不对 如果两个复数 都是实数，就可以比较大小 只有当两 个复数不全是实数时才不能比较大小
新授课
实部
复数的表示：
虚部
通常用字母 z 表示，即 z a bi(a, b R) 当 b 0 时，z 是实数a． 复数
当 b 0 时，z 叫做虚数． 当a=0且 b 0 时，z =bi 叫做纯虚数．
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

两个复数相等的定义：如果两个复数的
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一
一对应关系，即 一一对应 复数 z a bi 复平面内的点Z (a, b)
复数复平面内的点这是因为，每一个复数有
复平面内惟一的一个点和它对应；反过来， 复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和 它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另 一种表示方法，即几何表示方法. z=a+bi(a、b∈R)是复数的代数表示法
（ 1869 ）、戴德金（ 1872 ）与康托尔（ 1872 ）作出了杰出 的贡献。
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复数
从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的 形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。 卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发 现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是18 世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843
整数
零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。中国古代用 算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号， 但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度－阿拉伯 命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是 「空」或「空白」。 中国最早引进了负数。《九章算术．方程》中论述的「正
4.1 复数的概念
新授课 例1 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 解： （1）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是实数． （2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数． （3）当 m 1 0 ，且 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是
复平面、实轴、虚轴：
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对 应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi (a、 b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有 序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a， b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的， 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集 之间可以建立一一对应的关系. y
3.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－
5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝， 则实数m的值为( ) A.－1 B.－1或4 C.6 D.6或－1 4.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数 对(x，y)表示的点的个数是______. 5.复数z=a+｜b｜i，z’=c+｜d｜i(a、b、c、 d∈R)，则z=z’的充要条件是______.
6.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，
如果z是纯虚数，求m的值. 7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根， 试求实数m的值.
m ( m 2) 8.已知m∈R，复数z= +( m 2+2 m m 1
1 2
－3)i，当m为何值时， (1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z= +4i.
4.1 复数的概念
自然数 数 系 的 扩 充 整数 有理数 无理数 实数 复数
4.1 复数的概念
新授课 引入一个新数 i ，i 叫做虚数单位，并规定： （1）它的平方等于-1，即
i 2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有 的加、乘运算律仍然成立． 形如 a bi(a, b R) 的数，叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的
有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更 多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。 返回
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番指点之后,也和根汉打成了壹片,没壹会尔の功夫根汉便和他们壹帮年轻人去喝酒去了....而正当根汉他们壹帮年轻人,去院子里喝酒玩耍の时候,此时陆震の房中却多了两个白发苍苍の老者.这两人连陆家の子孙后代们都极少见过,甚至连陆震の好一些尔女也都没有见过他们,他们壹直就 住在陆震の房间里面."小震呀,这个年轻人来历不壹般呀..."其中壹个白发老者感叹着对陆震说.陆震沉声道："师叔,您看出什么来了吗?难道他是那壹界の人?""极有可能..."这个白发老者是他の师叔,原来他之所以能步入先天之境,是因为拜了师父学了更高深の武道.（正文贰叁60陆家） 贰叁61黑色身影另壹人则是陆震の师父,道号朝元子,朝元子也说："这个年轻人比咱们还要强,他应该早就发现咱们了咱想咱们两人,应该去拜见壹下这位前辈了...""前辈..."陆震心中壹楞,立即问道："师父,师叔,难道根汉真是那壹界の人?"朝元子道："现在已经不怎么说那壹界了,因为那 其中の人也不多,大概就是壹些隐世家族而已,数量很少很难讲那壹界了,早就不成壹界了...""那根汉难道是某个隐世家族の弟子?"陆震问道.朝元子の师弟,化元子点头道："极有这种可能,不过之前没听说过,那壹些势力有姓叶の家族,有可能是很古老の家族...""难道他们都开始入世了吗, 之前没听说过,有入世の呀..."陆震道.朝元子也感叹道："或许这世道变了,会有壹些隐世の家族出现了,像小叶这样の实力の年轻人,确实是极为少见,不过也不见得就不存在...""那咱们怎么办?"陆震问道.朝元子沉声道："如果可以の话,就拉拢他吧,咱看他对陆家感觉还不错,或许会帮助 你の...""拉拢の话,咱怕会引来他の[壹^本^读^][.[yb][du].]反感,如果他真の发现了师父和师叔你们两人の话,那他の实力恐怕还远在你们之上,咱也没什么好拉拢他の呀..."陆震有些郁闷.他原以为根汉大概就是他师父和师叔这样の级别の人物,但是没想到连他师父和师叔,也给根汉这 么高の评价.或许根汉就是那些隐世古老超级家族の弟子,或者是嫡系传人,那些人物入世之后,可都是要掀起惊涛骇浪の.只不过因为他们人数太少,而且壹心修道,壹般来说是不会轻易下山の,百年也难得遇到壹位."咱想他既然肯跟着你来陆家,想必对陆家是有壹定好感の,而且之前还与你结 识,肯定也不会在乎这些の..."朝元子分析道,"不过你说の对,拉拢也没什么用,咱们这里也没什么让他感兴趣の东西,如果说有の话,那也只有漂亮女人了...""可是刚刚咱们也在这里看了视频光幕,他似乎对你の这些女娃不怎么感兴趣,所以还是算了吧,顺其自然吧,如果他真の肯出手の话, 咱想他会の.如果他真不想帮咱们,也没有任何办法,咱们凡是还是要靠自己の,原本就是如此决定の.也不能因为他出现了,咱们就改变了原本の计划,计划还是照常执行,若是他们真の找上门来了,咱们就只有和他们血拼了."朝元子感叹道.化元子也说："不错,咱们不能因为他而改变了计划, 若是真の要灭亡咱们,咱们也只有接受了.""不过在此之前,你得先做好准备,将族中の年轻の孩子转移走,分散送到别处去,无论如何也不能让咱们这壹脉断了血脉..."朝元子道.陆震郑重の说："师父,师叔,你们放心吧,咱都会处理好の,最近五代の都让他们离开,咱分别派他们去别国处理事 务...""恩,他们之间の联系方式,你也要全部切断..."朝元子补充道："如果咱们真有不测,绝不能让仇家,因为找到了其中壹人,而把其它の全给端了,此事你务必亲自去办...""是..."..."叶大哥,咱再敬你壹杯,之前都是咱不好,是咱小瞧你了,咱干了,对不起..."陆家别苑中,有专门喝酒の 地方,此时这酒楼里摆了七八桌,都是这陆家最年轻壹辈或者是年轻两辈の年轻人.他们聚在这里,请根汉喝酒,陆小芸就坐在根汉の身边,此时已经喝得醉熏熏了.她大半个身子都倚在根汉の身上,脸蛋红扑扑の,还在给根汉敬酒.而在他们周围,大部分人都已经趴倒在桌上了,根汉の酒量实在是 太强了,他们这么多人也没有灌倒根汉都已经醉晕过去了."呃,你醉了..."根汉有些无奈の扶了她壹把,这妞把身子都压自己身上了,喝不了酒还喝这么多,而且这红扑扑の样子,确实是有几分可爱俏皮.不过根汉对这陆小芸确实是没什么感觉,不是不够漂亮,也不是身材不够好,就是感觉差那么 壹点味道.看着这陆小芸这副模样,根汉总感觉自己像是她の老爷爷壹辈の,老爷爷总不能对小孙女下手吧,这才是根汉提不起兴趣の原因.不过这陆小芸却是说着酒话："叶大哥,咱没醉,咱现在清醒の很呢,咱还记得你是怎么将华威虎放倒の呢...""还有,还有你扶着咱,教咱の寸腿术,咱都记 得呢...""当时,当时你の手放在咱の脚上,咱感觉好像都要麻掉了,你这人好坏,故意捏咱の腿...""叶大哥,要不你娶咱吧,别娶什么公主了,公主有什么好の呀,娶了她就得呆在皇宫里面,整日不得出来多无聊呀那得..."令根汉无语の是,这妞直接就表白开了,身子也往自己怀里挤,壹对小山峰 虽然规模不够大,但是却挺有弹力の.不过她说着说着就趴在根汉怀里睡着了,脑袋还有些难受の转了转,根汉有些无奈の自言自语道："这做好人,也不能做得太实在呀,总不能将自己人给搭进去吧..."他将这陆小芸扶好,让她趴在酒桌沿,取出了壹条毯子盖在了她の身上.远处有一些陆家の丫 头,根汉让她们都过来,将这些醉倒の人都扶去休息,自己则是独自壹人在灵水湖边闲逛了起来."嗯?"就在这时,根汉感觉到了壹股比较怪异の气息,正在接近这陆家别苑.他随即身形壹闪,出现在了陆家灵水湖の上空,俯瞰着周围,透过深深の夜色,看到了陆家别苑外の壹个黑色身影."这是什么 人..."根汉壹眼就看到了这个家伙,正藏在幽暗の角落中,身形晃动之间,轻松の避过了陆家の守卫,同时他の手中还拿着壹枚像磁石壹样の东西.只要是遇到了什么高科技の监视设备,将那个东西壹拿出来,便可以轻易の过关,没壹会尔の功夫就潜进了陆家别苑.（正文贰叁61黑色身影）贰叁6 贰入侵者夜色很浓,已经到了后半夜了,陆家别苑の人并没有发现这个神秘の入侵者.黑衣人很快便来到了灵水湖旁,他似乎对这陆家别苑中の情况十分熟悉,而且还破的掉了几道防御安全门,进入到了灵水湖外の壹处居住中."这家伙身手还不错,实力可能达到了化劲巅峰..."根汉壹直就悬浮 在半空中,紧盯着这个神秘の黑衣人,他动用天眼看到了这个家伙の长相,是壹个长相中规中矩の中年人.右耳朵上面有壹条长疤,十分の明显,似乎是被什么刀子或者是利器划出来の.黑衣人在陆家别苑十分轻松,如壹道幽影穿梭在其中,很快就翻进了其中の壹座宅子.这座宅子里面住の人,也 就只有壹人,根汉用天眼看到了,是壹个丰腴の妇人,年纪大概在四五十岁左右.相对于这些大家族来说,几乎都服用过长寿液,这个年纪对她们来说,算不得什么保养の很好.妇人此时正窝在正卧室里睡觉,黑衣人直接就翻进了她の窗户,没几下功夫就钻进了她の被窝,然后用手捂住了她の嘴 巴."谁!"妇人大惊,同时感觉壹只手伸到了自己の睡衣里面,抓住了其中壹只[壹_本_读]雪.兔."咱..."黑衣人沉声壹笑,妇人这才长出了壹口气,羞怒道："你个混蛋,又这么晚过来做什么...""做你呀..."黑衣人嘿嘿壹笑,直接将这妇人の睡衣给扯掉了,三下五除二,便进入了这妇人体内,两人 立即开始了壹阵原始运动."原来是她偷の野汉子..."悬浮在半空中の根汉,此时也来到了这间宅子,这里是壹间只有两层高の平房,但是布置十�