d
b
a
a1 ●
●d1
X
V H
c a
●c1
●b1
θ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
A
a
a1
ax1
按次序更换
H
X1
先把V面换成平面P1， P1H，得到中间新投影体系:
X1
—P1 H
再把H面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系:
X2
—P1 P2
⑵ 求新投影的作图方法
a
XV
ax
H
作图规律
a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1
a ax1 .
H X1 P1
a2 ax2 .
2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
三、点的投影变换规律
⒈ 更换一次投影面
⑴ 新投影体系的建立
a
a
V
ax
X
A
a1 P1
ax1
a
V X
ax
H
a
a1
. ax1
H P1 X1
H
X1
旧投影体系 X —VH
A点的两个投影：a， a
新投影体系
X1
—P1 H
A点的两个投影：a，a1
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。 AD C B
abd
P
c
ad
.
H X1P1
a1 d. 1
b 1. a2b2d2
如何确定d1 点的位置？
c1
过c1作线平行于x2轴。
P1X2P2
一.教学思想和理念
以学生为主体 全面提高学生综合运用知识的能力
二、教材分析及处理
1.教材分析：突出与人们的日常生活实际及 先进的生物技术手段相联系。
2.教材处学知识有一定的掌握, 但是分析综合知识的能力有待提高。
2.心理基础:有学习意识，但是比较茫然， 需要心理疏导。
1 、求直线实长和与投影面的倾角 将直线变换成投影面的平行线。
2 、求平面实形和形心 将平面变换成投影面的平行面。
3、 求平面与投影面的倾角 将平面变换成投影面的垂直面。
4、 求距离 （1）点与直线之间 a 将直线变换成投影面垂直线。 b 将点与直线组成的平面变换成投影 面的平行 面。
（2） 点与平面之间 将平面变换成投影面垂直面。
m1n1⊥c1d1。
A
M CN
d1 ●
D B a1m1b1
a1≡b●1≡m1
.
●n1 c●1
c1
P1
n1
d1
圆半径=MN
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。
作 图： c●
几个解？
a
d b
两个解！
●a2
X
V H
a
●
c
d ●
b
.
b2●d●260°
.
a1●b1
D点的投影 如何返回？ ● c2
如何解？
思考：
HX1P1
●
c1
P2 P1 X1
解法相同！
已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，
求等边三角形的投影。
例4：求平面ABC和ABD的两面角。
空间及投影分析：
垂所时直求所在于。由得投该几两影投何交图影定线中面理之,，知间两它：的平们两夹面的面角的投角。交影为线积两垂聚平直成面于直同投线时影，与面直第时线三，间平则的面两夹垂平角直面为相交
直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
作图方法：
在平面内取一条 投影一面般平位行置线直，线经变一换 V 成次投换影面面后垂变直换线成，新需投经 几影平能次面面否变的变只换垂成进？直新行线投一，影次则面变该的换？ a
垂直面。
思考：
X
若变换H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
d b A
a
c
D B
d b H
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。
a' e
a1'
b
e1´
b1'
c1'
4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。
问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新 轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
空间分析： 如果把平两面平内面的垂一直条需直满足线什变么换条成件新？投影面的垂
功用： 一次换面后可求解
平面实形、形心、
两直线交角等
a'
a1'
V1
V
问题的关 键：
c' b1' A c1'
新投影轴
必须平行于 该平面的积 聚性投影。
b'
B b
a
C c
X1
H
6. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
一次换面, 把一般位置平面需变经换几成次新变投换影？面的垂直面；
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
2.创设情景 教师给出实例，激发学生参与意识
3.课堂交流 4.课堂应用
师生共同解决疑难问题，建立知识 体系
分析经典例题，及时反馈练习
5.课堂总结 对课堂内容进行进一步的梳理
6.课后巩固 布置课后作业，学生自检自测
血糖调节示意图
六、板书设计
1. 血糖的平衡：三个来源，四个去路 2.学堂平衡的调节：神经间接调节，激素直接调节 3.血糖平衡失调引起的疾病：
（3） 两平行线之间 将两直线变换成投影面垂直线。 （4） 两平行平面之间 将两平面变换成投影面垂直面。
5 、求夹角
（1）两直线之间 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。 （2） 两平面之间 将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两 平面的交线变换成投影面的垂直线。
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
X2
a2b2 b P2
ax2
P1
a
b1
B A
a1
作图：
b
a
XV
H
b
a
b
H1
a
X1 P1 a1●
●.
b1
a2b2
H
X1 X2轴的位置？
与a1b1垂直
例1 已知等腰三角
形ABC的底边 为AB，试用 换面法求出等 腰三角形ABC 的正面投影。
c'
b'
XV
Hc a
三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线 变换一次投影面
2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 变换两次投影面
3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 变换一次投影面 需先在面内作一条投影面平行线
4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换两次投影面
更换V面
a
V XH
ax
a
ax1
.
H P1 X1
作图规律：
更换H面
X1 H
P1
a1
. ax1
a ● a1
XV ax H
a
由点的不变投影向新投影轴作垂线，
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。
⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
V a
ax
X
X2
a2
P2
ax2 P1
作 图： c
AB是水平 线
a
b
●a2
XHV a
b2● b . a1b1.
●
c
●
c2 平面的实形
HX1P1
●c1
X2轴的位置？ 与其平行
例 3 已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，
求直线AB的 水平投影。
b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
e' XHV d' c
b'
e
da b
五、换面法的应用
P1 C c1
a1d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作 图 过 程：
X
V H
a