高等代数与解析几何（上）
一、选择题（每题3分，共5题，共15分。

） 1、) ()b -a ()b a (=⨯+。

0、A )(2b a B ⨯、 22b a C -、 )(2a b D ⨯、
2、），（，，2,14)32,1(B A -点P 为线段BA 成定比32：-，则点P 的坐标为（ ）。

)0,7,10(P A 、 )0,6,12(P B 、 )0,7,10(-P C 、 )0,7,10(--P D 、
3、已知b 3a +与b 5a 7 -垂直，b 4-a 与b 2a 7
-垂直，则a 与b 的夹角为（ ）。

6π、A 4π、B 3π、C 2
π
、D
4、当a 为何值时，四点）（，，），，（，，6,1,0)7,100(a 2,13)54,a (D C B A ---共面。

（ ） 2=a A 、 1113=
a B 、 21113==a a C 或、
211
12
==a a D 或、 5、设A 为3阶矩阵，8=A ，则)(2=-A 。

16-A 64-B
48C
32D
二、填空题（每题3分，共7题，共21分。

）
1、已知1b a == ，
2、几何空间中4个或
3、若向量(0,3,2),c (1,-1,-2),b ), 3,2,4 (a ===
则由这三个向量张成的平行六面体的体
积为——————。

4、已知(1,-2,-1),
b ), (-4,5,-2a == 则→a 在→b 的单位向量→0b 上的射影为—————。

5、已知排列n x x x 21的逆序数为a ，则排列121-n x x x x n 的逆序数为—————。

6、使1725836j i 成偶排列，则 =i —————，=j ————。

7、n 阶方阵n n ij a A ⨯=)(，D A =，则
当j k ≠时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。

当j k =时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。

三、判断题（每题2分，共7题，共14分。

）
1、若c a b a ⋅=⋅且0≠a
，则c b =。

（ ）
2、在ABC ∆中一定存在一点O ,可以使0=++→
→→OC OB OA 。

（ ）
3、{}
1,,2
-=∈∈+=i R b Q a bi a P 是数域。

（ ）
4、任一数域都包含有理数域。

（ ）
5、x
x f 1
:→
是全体实数到其自身的映射。

（ ） 6、若置换P 的逆序数为a ，则置换1
-P 的逆序数也为a 。

（ ）
7、在四阶行列式展开式中，项23413412a a a a 的符号为正。

（ ） 四、计算题（第一题8分，其余每题6分，共32分。

）
1、已知在基321,,e e e 下，)4,2,2(),1,0,1(),1,1,0(),0,1,1(-====d c b a。

（1）试证c b a
,,不共面，从而它们是一个基。

（2）求d
在c b a
,,下的坐标。

2、求[]
))(()(c a d b d c b a
⨯⋅=⨯⨯⨯中等号成立的条件。

3、设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=566531432421p , ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=346561435221q ，求p pq 1
-。

4、计算行列式v
l u k h f z c
d
y
c b
a g x 00
0000000=∆。

5、计算行列式a
b c d b a d c c d a b d c b a ------=∆。

五．证明题（每题6分，共3题，共18分。

）
1.用向量的方法证明三角形的正弦定理。

2.证明行列式2
11
3
20
1
01
321---=
d
c b a D 的第一列各元的代数余子式之和为4. 3.设实数c b a ,,满足0=++c b a ,12
22=++c b a ,如果记),,(i i i i z y x r =
，6,...,1=i 。

其
中{}{}c b a z y x i i i ,,,,=，则必存在j i r r ≠，使得2
1≥
⋅j i r r。