第四章 屈服准则§ 4-1屈服准则的意义：屈服是弹性变形的终了，塑性变形的开始。
屈服点是一个方向性的从量变到质变的转折点，屈服点以下为弹性变形区，在该区域，随着应力增加，变形量也不断增加，应力和应变的量不断积累，如果积累的量不超过屈服点，一旦卸载，应力和变形又回到原处。
如果积累的量超过了屈服点，材料性质则发生了质的变化，卸载之后，应力和变形都不会回到原处。
材料内部有残余应力，也有不可回复的塑性变形。
屈服点是材料性能上的一个转折点或者说分界点。
屈服点以下的变形特点是线性、单值、可逆，屈服点以上的变形特点恰恰相反，非线性、非单值、不可逆。
因此，屈服点以下是弹性力学研究的范围，而屈服点以上是塑性力学研究的范围。
从弹性方面说，它是弹性变形的极限，是强度的最高峰，由此构成了强度理论，从事结构研究的人绝对不能接近这一值，他们的活动范围是小于该值。
从塑性加工讲，屈服仅仅是塑性变形的开始，一切塑性加工必须从这一点开始，由此构成了屈服准则。
因此可以说，强度理论和屈服准则是同一事物的两个不同的侧面，必须联系起来看，质点处于单向应力状态下，若s σσ=1，对于结构而言，构件已经失效。
对于塑性加工，例如拔丝加工刚刚开始。
我们已 经学过第三][31σσσ≤-、第四强度理论])()()[(21213232221σσσσσσ-+-+-0≤，将第三、第四强度理论综合起来，可以写成C f ij ≤)(σ；和这两个理论相对应的屈服准则可以写成C f ij =)(σ，由此可见，屈服准则可以定义为：当各应力分量之间符合一定关系时，质点才进入塑性状态。
因为它是在解塑性力学问题时，除力学、几何、物理方程之外的补充方程，故又称塑性方程。
屈服准则是各应力分量之间的一种组合关系，这种关系是无限的，所发不能用有限的实验去穷属它，而只能在理想化的理论分析的基础上，用有限的实验支验证它，在逻辑学上叫有限归纳，所以，到目前为止，屈服准则的本质仍然是分析（推理）型的。
实验验证仍在进行，或许到了某一限度会有突破。
§ 4-2 有关材料性质的一些基本概念一 连续：材料中没有空隙、裂纹。
二 均质：各质点性能一样。
三 各向异性：材料在各个方向上的性能不一样。
四 各向同性：材料在各个方向上的性能一样。
五 理想弹性材料：弹性变形时应力应变关系成线性的材料。
六 理想塑性材料：塑性变形时不产生硬化的材料。
进入塑性状态后应力不再增加可连续产生塑性变形。
七 变形硬化材料：塑性变形时产生硬化的材料，进入塑性状态后不断增加应力才可连续产生塑性变形。
八 刚塑性材料：在塑 性变形前象刚体一样不产生弹性变形，而到达屈服点后不再增加可连续产生塑性变形。
§ 4-3 屈雷斯加（Tresca ）准则一 定义：材料质点中的最大剪应力达到某一定值时材料产生屈服。
二 数学表达式：c =-21σσ ； c =-31σσ； c =-32σσ；当已知1σ、2σ、3σ的值，且有321σσσ≥≥时，则屈雷斯加（Tresca ）准则可写成c =-31σσ；更为简单。
从莫尔圆方面讲，莫尔圆的最大直径达到一定值时材料屈服。
三 屈雷斯加（Tresca ）准则的优缺点：1 优点：一阶线性，数学上处理非常方便，尤其是已知1σ、2σ、3σ的值时，且有321σσσ≥≥时，则屈雷斯加（Tresca ）准则可写成c =-31σσ。
2 缺点：该准则不考虑2σ，在理论上不完整，如果1σ、2σ、3σ的值未知是，不能确定321σσσ≥≥时，数学上处理不一定方便。
四 常数C 的确定：屈服准则应该适用于任何应力状态的组合：故可用简单的材料试验测定常数C 。
1 单向应力状态：单向拉伸则有0;321===σσσσs ; 则s c σσσ==-31。
2 纯剪应力状态：k k-===3210σσσs k c σσσ===-231; s k σ21=这是一个很重要的结论，C 只与材料有关，只与变形历史有关。
这一准则是法国人Tresca1864年研究土力学时，通过对挤压的研究提出的。
§ 4-4 密席斯屈服准则(Mises)一 定义：当材料质点的应力状态的等效应力达到一定值时，材料就会屈服。
二 数学表达式：C =-+-+-=])()()[(21213232221σσσσσσσ三 优缺点：1 优点：全面考虑了三个分量1σ、2σ、3σ，并且从应力到能量在数学上比较严谨。
2 缺点：二阶非线性，数学上处理比较复杂。
四 常数C 的确定： 1单向应力状态：有0;321===σσσσs ;s C σσσσσσσσσ===-+-+-=1213232221])()()[(21；s C σ=∴2 纯剪应力状态：;;0;321k k -===σσσs C k k k k σ==--+++-])()0()0[(21222;s C k σ==∴3; k=s s σσ577.031=k s3])()()[(21213232221==-+-+-=σσσσσσσσ五 物理意义：1924年Henky 阐明了Mises 准则的物理意义，这就是当材料的质点内的单位体积上的变形能达到某临界值时，材料屈服。
Nadai 则认为，Mises 准则的意义是八面体面上的剪应力达到一定值时，材料就屈服。
即：s στ328=§ 4-5 屈服准则的几何表达---屈服表面和屈服轨迹 一 应力空间的屈服表面： 1 应力空间：1） 定义：以三条主应力为坐标轴构成的空间叫应力空间。
2） 应力空间的点与变形体内质点的应力状态一一对应。
变形体内任意点的应力状态为()321σσσ，按此值可以在应力空间中确定一个点p ，p 点的坐标为()321σσσ，反之，在应力空间中有一点，就可以确定一个应力状态，因此，应力状态与应力空间中的点是一一对应的。
2 应力空间中的应力球张量：1） 等倾线的定义：与每一个坐标男的夹角都相等 直线叫等倾线。
2） 应力空意味等倾线的意义：等倾线上的每一点都代表一个球张量。
在应力空间第一卦限中作等倾线ON ，在ON 线上任取一点M ，M 点的坐标分别为()321m m m σσσ，它们在三条坐标轴上的投影为：ασcos 1OM m =; βσcos 2OM m =;γσcos 3OM m =; 因为在等倾线上γβα==；所以有： 321m m m σσσ==；M 点表示一个球应力状态，是一个应力球张量。
由于M 点的任意性，可以确定ON 轴上的每一点都是一个球张量。
3 在应力空间中应力偏张量的表示：在应力空间中，任意点p 代表着一个点和应力状态，坐标为()321σσσ，矢量p o同样代表这点的应力状态，将p o向ON 投影得OM ，则OM 等于OP 各分量在ON 上的投影之和，即OM =++γσβσασcos cos cos 321 1c o s c o s c o s 222=++γβα ; 又γβα== ; 31cos cos cos ===γβα；OM =++)(31321σσσ；又232221σσσ++=op ;=-=22OM op MP 23212232221)(31)(σσσσσσ++-++；展开合并同类项而后配方得：=MP σσσσσσσ32])()()[(31213232221=-+-+-p o代表一点的应力张量，M O 代表点的应力球张量，M O p o P M -=代表该点的应力偏张量。
在应力空间中，=MP 32σ=32s σ时材料就会屈服。
4 应力空间中的屈服准则轨迹： 1） Mises 屈服轨迹：过p 点作垂直于ON 的平面，由O 点到平面上所有的点的矢量向ON 投影都为OM ，以M 为圆心，以MP 为半径，作圆，圆上的每一个点到M 的距离都等于MP ，圆上所有点所代表的应力状态的偏张量的模都为MP =32s σ，所以圆上的点表示屈服应力状态。
过p 点作ON 的平行线PQ ，以PQ 为母线作圆柱面，则该圆柱面上的每一点ON 的距离都等于MP ，以O 点到圆柱面上各点的矢量所代表的应力张量的偏张量的模均为MP =32s σ；所以柱面上每一点都代表屈服应状态。
在圆柱面内部的点所表示的应力张量的偏张量的模都小于MP =32s σ，都表示弹性应力状态。
对于刚塑性材料，s σσ=而不能大于s σ。
因为无更大的反作用力，点不会跑到圆柱而的外面。
2）Tresca 屈服准则轨迹：Tresca 屈服准则的数学表达式为：s σσσ=-21 ； s σσσ=-31； s σσσ=-32； ① s σσσ=-21; s σσσ±=-21 ;首先讨论s σσσ+=-21 当01=σ时，s σσ-=2; 得点（0，-s σ）；当02=σ时；s σσ=1；是点（s σ，0）； 所以，s σσσ+=-21是一条过点（0，-s σ）和点（s σ，0）的直线。
在空间是过点（s σ，0，0）、点（0，-s σ，0）的一个平面。
② s σσσ-=-21当01=σ时，s σσ=2; 得点（0，s σ）；当02=σ时；s σσ-=1；是点（-s σ，0）； 所以，s σσσ-=-21是一条过点（0，s σ）和点（-s σ，0）的直线。
在空间是过点（-s σ，0，0）、点（0，s σ，0）的一个平面。
③ s σσσ=-21平面的特性：211121)()(σσσσσσσσ-=---='-'m m ; 由此可见s σσσ=-21与应力球张量无关。
所以s σσσ±=-21两平面与ON 轴无交点，平行于ON 轴。
所以s σσσ±=-21在空间分别是过点（-s σ，0，0）、点（0，s σ，0）和过点（-s σ，0，0）、点（0，s σ，0）而且都平行于ON 轴的两平面。
同理可证s σσσ=-31在空间是过点（s σ，0，0）、点（0，0，-s σ）的一个平面和过点（-s σ，0，0）、点（0，0，s σ）的一个平面。
而s σσσ=-32，在空间是过点（0，-s σ，0）、点（0，0，s σ）的一个平面和过点（0，s σ，0）、点（0，0，-s σ）的一个平面。
这些平面都平等于ON 轴；且两相交，形成一个以ON 为轴的正六棱柱面。
3）Mises 准则和Tresca 准则的关系：在应力空间中，令点（s σ，0，0）为A 点，向量OA 的模为s σ，向ON 轴投影为OM s s ==σασ31cos ;OM s =σ31是A 点应力状态的应力球张量，A 点的应力偏张量应力为=-2231s s σσ32s σ，即过A 点的棱与ON 轴之的距离为32s σ。
并且棱与ON 轴平行。
而Mises 圆柱面的母线与ON 轴的距离或圆柱面的半径为32s σ；所以棱和圆柱面必定重合，也就是说，棱在圆柱面上，同理其它棱也在圆柱面上。